Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 28/latex

\setcounter{section}{28}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das Polynom
\mathdisp {X^3-3X-1} { }
über $\Q$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq }{ 30 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ob das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal \definitionsverweis {konstruierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen $n$ zwischen
\mathl{100}{} und
\mathl{200}{} mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche der Winkel
\mathdisp {10^{\circ}, \, 20^{\circ} , \, 30^{\circ} , \, 40^{\circ} , \ldots , 350^{\circ}} { }
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $n$ eine zu
\mathl{360}{} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel
\mathl{n^{\circ}}{} nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe einen Winkel
\mathbed {a^{\circ}} {}
{0 < a < 1} {}
{} {} {} {,} an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\beta$ ein Winkel, der durch zwei konstruierbare \zusatzklammer {Halb} {} {-}Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\beta$ konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbdisp {\varphi} { \R^2 } { \R^2 } {} eine Drehung um den Drehpunkt $P$ um den Winkel
\mathbed {\beta} {}
{0^{\circ} < \beta < 360^{\circ}} {}
{} {} {} {,} mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass $P$ ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel $\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos 3 \alpha }
{ =} { 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke $S$ durch zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges $n$-Eck $R$ derart, dass $S$ eine der Kanten von $R$ wird.

}
{} {Tipp: Aufgabe 25.15 kann helfen.}

\inputaufgabe
{4}
{

Welche der Winkel
\mathdisp {1^{\circ}, \, 2^{\circ} , \, 3^{\circ} , \, 4^{\circ} , \ldots , 10^{\circ}} { }
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

}
{} {}