Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 7/latex

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\setcounter{section}{7}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

a) Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $R$ ist.

b) Zeige, dass für
\mathl{R=\Z}{} die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.

c) Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring $R$ und eine Untergruppe
\mathl{U \subseteq R}{,} die kein Ideal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{d \in \N}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ P= \sum_{i= 0 }^n a_iX^{i} \in K[X] \mid a_0 = a_1 = \ldots = a_d = 0 \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in
\mathl{K[X]}{} ist. Ist es ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X,Y]}{} über einem Körper $K$ das \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,Y)}{} kein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mathbed {{\mathfrak a}_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine Familie von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{\bigcap_{j \in J} {\mathfrak a}_j}{} wieder ein Ideal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Kette von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{a,b \in R}{.} Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungvier{Das Element $a$ ist ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $b$ (also
\mathl{a {{|}} b}{),} genau dann, wenn
\mathl{(b) \subseteq (a)}{.} }{$a$ ist eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} genau dann, wenn
\mathl{(a)=R=(1)}{.} }{Jede Einheit teilt jedes Element. }{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ =} {(a_1) \cap (a_2) \cap \ldots \cap (a_k) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale und
\mathl{r \in R}{.} Zeige, dass $r$ ein \definitionsverweis {gemeinsames Vielfaches}{}{} von
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} genau dann ist, wenn
\mathl{(r) \subseteq {\mathfrak b}}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {Hauptidealen}{}{} wieder ein Hauptideal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei $M$ die Menge aller \definitionsverweis {Ideale}{}{} in $R$, die wir mit den beiden \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} \definitionsverweis {Summe von Idealen}{}{} und \definitionsverweis {Produkt von Idealen}{}{} versehen. Welche \definitionsverweis {Ringaxiome}{}{} gelten dafür?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {I} {und} {J} {} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(I+J)^n }
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Ein homogenes Polynom
\mathl{P\in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist ein Polynom, bei dem alle beteiligten Monome den gleichen Summengrad besitzen.


\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein kommutativer Ring und
\mathl{P=R[X_1, \ldots ,X_m]}{} der Polynomring darüber in $m$ Variablen. Es sei
\mathl{{\mathfrak m}=(X_1, \ldots, X_m)}{} das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass
\mathl{{\mathfrak m}^n = P_{\geq n}}{} ist, wobei $P_{\geq n}$ das Ideal in $P$ bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad $\geq n$ erzeugt wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für $\Z$ die \definitionsverweis {Radikale}{}{,} die \definitionsverweis {Primideale}{}{} und die \definitionsverweis {maximalen Ideale}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in $\Z$ das \definitionsverweis {Radikal}{}{} zum \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{\Z 27}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei $0 \neq p \in R$ keine \definitionsverweis {Einheit}{}{.} Dann ist $p$ genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{} $(p) \subset R$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über
\mathl{K}{} und
\mathl{P=aX+b}{} ein lineares Polynom \zusatzklammer {\mathlk{a \neq 0}{}} {} {.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} \definitionsverweis {maximal}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{K[X,Y]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über
\mathl{K}{} und
\mathl{a,b \in K}{} zwei Elemente. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak m} }
{ =} {{ \left\{ P \in K[X,Y] \mid P(a,b) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in
\mathl{K[X,Y]}{} ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z[X]}{} das \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{(X,5)}{} kein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe \definitionsverweis {Radikal}{}{} besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{\mathfrak{a} \neq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige:
\mathl{\mathfrak{a}}{} ist genau dann ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{,} wenn es zu jedem
\mathbed {g \in R} {}
{g \not\in \mathfrak a} {}
{} {} {} {,} ein
\mathl{f \in \mathfrak a}{} und ein
\mathl{r \in R}{} gibt mit
\mathl{rg+f=1}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak m}}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.

}
{} {}


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