Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 7

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Ideale

Definition  

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .

Die Eigenschaft, nichtleer zu sein, kann man durch die Bedingung ersetzen. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von , die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.


Definition  

Zu einer Familie von Elementen in einem kommutativen Ring bezeichnet das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen

wobei sind.


Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

heißt Hauptideal.

Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte Nullideal, was wir einfach als schreiben. Die und überhaupt jede Einheit erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring.


Definition  

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ist der Ring selbst.

In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Körper.
  2. Es gibt in genau zwei Ideale.

Beweis  

Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .

Sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , so dass eine Einheit ist.




Operationen für Ideale

Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal (der Durchschnitt von Hauptidealen ist im Allgemeinen kein Hauptideal). Daneben gibt es noch zwei weitere Operationen für Ideale, die zu neuen Idealen führen.


Definition  

Zu Idealen in einem kommutativen Ring nennt man das Ideal

die Summe der Ideale.

Die Summe ist wieder ein Ideal. Ein endlich erzeugtes Ideal ist die Summe von Hauptidealen, nämlich


Definition  

Zu zwei Idealen und in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

mit , definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten (mit , ) erzeugt wird.

Die Menge aller Produkte ist im Allgemeinen kein Ideal. Für Hauptideale ist (aber nicht ).

Wenn das Produkt eines Ideals mit sich selbst genommen wird, verwendet man die Potenzschreibweise, d.h. bedeutet das -fache Produkt des Ideals mit sich selbst. In ist beispielsweise



Ideale und Teilbarkeitsbeziehungen

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.


Lemma

Sei ein kommutativer Ring und . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Das Element ist ein Teiler von (also ), genau dann, wenn .
  2. ist eine Einheit genau dann, wenn .
  3. Jede Einheit teilt jedes Element.
  4. Teilt eine Einheit, so ist selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.6.




Lemma  

Sei ein kommutativer Ring, und das davon erzeugte Ideal. Ein Element ist ein gemeinsamer Teiler von genau dann, wenn ist, und ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes mit folgt, dass ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von .

Beweis  

Aus folgt sofort für , was gerade bedeutet, dass diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt ein gemeinsamer Teiler. Dann ist und da das kleinste Ideal ist, das alle enthält, muss gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.



Lemma

Sei ein kommutativer Ring, und der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element ist ein gemeinsames Vielfaches von genau dann, wenn ist, und ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes mit folgt, dass ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von .

Beweis

Siehe Aufgabe 7.7.




Das Radikal

Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ist für ein , so ist bereits .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Dann nennt man die Menge

das Radikal zu . Es wird mit bezeichnet.

Das Radikal zu einem Ideal ist selbst ein Radikal und insbesondere ein Ideal.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal.

Dann ist das Radikal zu ein Radikalideal.

Beweis  

Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. gehört offenbar zum Radikal und mit , sagen wir , ist auch , also gehört zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien mit und . Dann ist

Sei nun . Dann ist , also .


Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .



Lemma

Sei ein Integritätsbereich und , . Dann ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.15.



Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.



Lemma

Sei ein kommutativer Ring und ein maximales Ideal in .

Dann ist ein Primideal.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.21.



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