Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Aufgabe

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen aus

die Beziehung folgt.


Aufgabe *

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich oder ist.


Aufgabe

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler .


Aufgabe

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Ist diese Zahl durch teilbar?


Aufgabe *

Seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Sei . Ist stets ein Teiler von ?


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und seien zwei Polynome. Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein Teiler von in genau dann ist, wenn ein Teiler von in ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  2. Ist ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.


Aufgabe

Zeige, dass die Primzahlen Primelemente in sind.


Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper die Variable irreduzibel und prim ist.


Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper die linearen Polynome () irreduzibel und prim ist.


Aufgabe

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich mit und ein Element, das keine Quadratwurzel in besitze. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Hinweis: Der Zwischenwertsatz hilft.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom in irreduzibel ist.


Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Aufgabe

Sei eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative größte gemeinsame Teiler der mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation der größte gemeinsame Teiler ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring :

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und sei der Polynomring darüber. Zeige, dass ein Polynom der Form ein Primelement ist.

Man gebe auch ein Beispiel, dass dies für Polynome der Form nicht gelten muss.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Unterring

Zeige, dass die Elemente und in irreduzibel, aber nicht prim sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


In der folgenden Aufgabe sind die Eigenschaften prim und irreduzibel in einem Monoid zu verstehen, ohne dass ein Ring vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Menge , die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung (in ) eine gerade Anzahl (mit Vielfachheiten gezählt) von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in .



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