Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 25

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$ , die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe *

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$ , der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(4,-1)$ , der durch den Punkt ${}(-2,5)$ läuft.

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$ , wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}2y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(2,2)$ und den Radius ${}5$ gegeben ist.

Aufgabe *

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ , wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}D$ ein nichtausgeartetes Dreieck in der Ebene mit den drei Eckpunkten ${}A,B,C$ . Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe

Es sei ein Kreis ${}K$ und ein Punkt ${}P\in K$ gegeben. Konstruiere die Tangente an den Kreis durch ${}P$ .

Aufgabe

Es sei eine Gerade ${}G$ und ein Punkt ${}P\notin G$ gegeben. Konstruiere einen Kreis mit Mittelpunkt ${}P$ derart, dass die Gerade eine Tangente an den Kreis wird.

Aufgabe

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ ein nichtkonstruierbarer Punkt.

a) Zeige, dass es unendlich viele Geraden durch ${}P$ gibt, auf denen mindestens ein konstruierbarer Punkt liegt.

b) Zeige, dass es maximal eine Gerade durch ${}P$ gibt, auf der es mindestens zwei konstruierbare Punkte gibt.

Aufgabe

Rekapituliere die Strahlensätze.

Aufgabe

Erläutere geometrisch, warum die ${}0$ das neutrale Element der geometrischen Addition von reellen Zahlen ist.

Aufgabe

Erläutere geometrisch, warum die ${}1$ das neutrale Element der geometrischen Multiplikation von reellen Zahlen ist.

Aufgabe

Erläutere geometrisch, woran die geometrische Division von reellen Zahlen durch ${}0$ scheitert.

Aufgabe

Es seien ${}P,Q$ zwei Punkte auf einer Geraden ${}L$ und ${}M$ sei eine weitere Gerade durch ${}P$ . Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine Raute, sodass ${}P$ und ${}Q$ Eckpunkte sind und eine Seite auf ${}M$ liegt.

Aufgabe

Es sei ein Dreieck ${}D$ durch die Eckpunkte ${}A,B,C$ in der Ebene ${}E$ mit den Seiten ${}S,T,R$ gegeben. Es sei ferner eine Strecke ${}S'$ durch zwei Punkte ${}P,Q\in E$ gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein zu ${}D$ ähnliches (also winkelgleiches) Dreieck ${}D'$ derart, dass ${}S'$ eine Seite von ${}D'$ ist und dass ${}S'$ der Seite ${}S$ entspricht.

Tipp: Konstruiere zuerst ein zu ${}D$ kongruentes Dreieck ${}D^{\prime \prime }$ derart, dass ${}S^{\prime \prime }$ zu ${}S'$ parallel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K$ und ${}L$ , wobei ${}K$ den Mittelpunkt ${}(2,3)$ und den Radius ${}4$ und ${}L$ den Mittelpunkt ${}(5,-1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge ${}M=\{0,1\}$ in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus ${}M$ in einem Schritt, in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren?

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion einer reellen Zahl ${}x$ mit Hilfe von Zirkel und Lineal, deren Abweichung von ${}{\sqrt {\pi }}$ kleiner als ${}0{,}00001$ ist.