Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Definitionsliste

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Definition:Monoid

Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

und einem ausgezeichneten Element  ${}e\in M$  derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

   ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

   für alle  ${}x,y,z\in M$. 

2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

   ${}x\circ e=x=e\circ x\,$

   für alle  ${}x\in M$. 

Definition:Gruppe

Ein Monoid ${}(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem  ${}x\in G$  ein  ${}y\in G$  mit  ${}x\circ y=e=y\circ x$  gibt.

Definition:Kommutative Gruppe

Eine Gruppe ${}(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also  ${}x\circ y=y\circ x$  für alle  ${}x,y\in G$  gilt.

Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe ${}G$ bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben

${}\operatorname {ord} \,(G)={\#\left(G\right)}\,.$

Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}g\in G$  ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl ${}n$ mit  ${}g^{n}=e_{G}$  die Ordnung von ${}g$. Man schreibt hierfür ${}\operatorname {ord} \,(g)$. Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man  ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$. 

Definition:Untergruppe

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge  ${}H\subseteq G$  heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1.  ${}e\in H$. 
2. Mit  ${}g,h\in H$  ist auch  ${}g\circ h\in H$. 
3. Mit  ${}g\in H$  ist auch  ${}g^{-1}\in H$. 

Definition:Erzeugte Untergruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}M\subseteq G$  eine Teilmenge. Dann nennt man

${}(M)=\bigcap _{M\subseteq H,\,H\,{\text{Untergruppe}}}H\,$

die von ${}M$ erzeugte Untergruppe.

Definition:Zyklische Gruppe

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Definition:Ring

Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
2. ${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
3. Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle  ${}a,b,c\in R$. 

Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit  ${}k\leq n$.  Dann nennt man

${}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

den Binomialkoeffizienten „ ${}n$ über ${}k$ “.

Definition:Nichtnullteiler

Ein Element ${}a$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Nullteiler, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}b$ mit  ${}ab=0$  gibt. Andernfalls heißt es ein Nichtnullteiler.

Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition:Unterring

Eine Teilmenge  ${}S\subseteq R$  eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl ${}(S,+,0)$ eine Untergruppe von ${}(R,+,0)$ als auch ${}(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von ${}(R,\cdot ,1)$ ist.

Definition:Einheit

Ein Element ${}u$ in einem Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element  ${}v\in R$  mit

${}uv=vu=1\,$

gibt.

Definition:Einheitengruppe

Die Einheitengruppe in einem Ring ${}R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in ${}R$. Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.

Definition:Körper

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn  ${}R\neq 0$  ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Definition:Unterkörper

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Unterring  ${}M\subseteq K$,  der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von ${}K$.

Definition:Körpererweiterung

Es sei ${}L$ ein Körper und  ${}K\subseteq L$  ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion  ${}K\subseteq L$  heißt eine Körpererweiterung.

Definition:Komplexe Zahlen

Die Menge ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}0:=(0,0)$ und ${}1:=(1,0)$, mit der komponentenweisen Addition und der durch

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,$

definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit

${\mathbb {C} }$

bezeichnet.

Definition:Realteil

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

heißt

${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}=a\,$

der Realteil von ${}z$.

Definition:Imaginärteil

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

heißt

${}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=b\,$

der Imaginärteil von ${}z$.

Definition:Komplexe Konjugation

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}:=a-b{\mathrm {i} },$

heißt komplexe Konjugation.

Definition:Betrag einer komplexen Zahl

Zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

ist der Betrag durch

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ${}R$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit  ${}a_{n}\neq 0$  ist ${}n$.

Definition:Polynomfunktion

Es sei ${}K$ ein Körper und seien  ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$.  Eine Funktion

$P\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto P(x),$

mit

${}P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,$

heißt Polynomfunktion.

Definition:Euklidischer Bereich

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich ${}R$, für den eine Abbildung ${}\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente ${}a,b$ mit  ${}b\neq 0$  gibt es  ${}q,r\in R$  mit

$a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$

Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein  ${}c\in R$  derart gibt, dass  ${}b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Definition:Assoziiert

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit  ${}u\in R$  derart gibt, dass  ${}a=ub$  ist.

Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung  ${}p=ab$  nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition:Primelement

Eine Nichteinheit  ${}p\neq 0$  in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$.  Dann heißt ein Element  ${}t\in R$  gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}t$ jedes ${}a_{i}$ teilt (${}i=1,\ldots ,k$).

Definition:Größter gemeinsamer Teiler

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$.  Ein Element  ${}g\in R$  heißt größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler ${}t$ dieses ${}g$ teilt.

Definition:Teilerfremd

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente  ${}a,b\in R$  teilerfremd sind, wenn jedes Element  ${}c\in R$,  das sowohl ${}a$ als auch ${}b$ teilt, eine Einheit ist.

Definition:Gemeinsames Vielfaches

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$.  Ein Element  ${}b\in R$  heißt ein gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist.

Definition:Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$.  Ein Element  ${}b\in R$  heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$, wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von ${}b$ ist.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  ${}0\in {\mathfrak {a}}$. 
2. Für alle  ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$  ist auch  ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$. 
3. Für alle  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}r\in R$  ist auch  ${}ra\in {\mathfrak {a}}$. 

Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

wobei  ${}J_{0}\subseteq J$  eine endliche Teilmenge und  ${}r_{j}\in R$  ist.

Definition:Hauptideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Definition:Einheitsideal

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ${}R$ ist der Ring selbst.

Definition:Summe von Idealen

Zu Idealen  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man das Ideal

${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

die Summe der Ideale.

Definition:Idealprodukt

Zu zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\left\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}},\,b_{i}\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

definiert.

Definition:Radikal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls  ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$  ist für ein  ${}n\in \mathbb {N}$,  so ist bereits  ${}f\in {\mathfrak {a}}$. 

Definition:Radikal zu einem Ideal

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal. Dann nennt man die Menge

${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$

das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$. Es wird mit ${}\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ bezeichnet.

Definition:Primideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn  ${}{\mathfrak {p}}\neq R$  ist und wenn für  ${}r,s\in R$  mit  ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$  folgt:  ${}r\in {\mathfrak {p}}$  oder  ${}s\in {\mathfrak {p}}$. 

Definition:Maximales Ideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn  ${}{\mathfrak {m}}\neq R$  ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ kein weiteres Ideal gibt.

Definition:Hauptidealring

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Definition:Euklidische Restfolge

Es seien Elemente ${}a,b$ (mit ${}b\neq 0$) eines euklidischen Bereichs ${}R$ mit euklidischer Funktion ${}\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen  ${}r_{0}=a$  und  ${}r_{1}=b$  und die mittels der Division mit Rest

${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit  ${}f\neq 0$  sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Definition:Exponent

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und  ${}p\in R$  ein Primelement. Dann heißt zu jedem ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, die natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit ${}p^{n}{|}f$ aber ${}p^{n+1}\not {|}f$, der Exponent (oder die Ordnung) von ${}f$ zu ${}p$. Er wird mit ${}{\exp _{p}(f)}$ bezeichnet.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle  ${}g,g'\in G$  gilt.

Definition:Gruppenisomorphismus

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Wir setzen  ${}x\sim _{H}y$  (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind) wenn  ${}x^{-1}y\in H$. 

Definition:Linksnebenklasse

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem  ${}x\in G$  die Teilmenge

${}xH={\left\{xh\mid h\in H\right\}}\,$

die Linksnebenklasse von ${}x$ in ${}G$ bezüglich ${}H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse.

Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe  ${}H\subseteq G$  heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von ${}H$ in ${}G$, geschrieben

$\operatorname {ind} _{G}H.$

Definition:Normalteiler

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Man nennt ${}H$ einen Normalteiler, wenn

${}xH=Hx\,$

für alle  ${}x\in G$  ist, wenn also die Linksnebenklasse zu ${}x$ mit der Rechtsnebenklasse zu ${}x$ übereinstimmt.

Definition:Restklassengruppe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und  ${}H\subseteq G$  ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 12.1 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$. Die Elemente  ${}[g]\in G/H$  heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$. 
2.  ${}\varphi (1)=1$. 
3.  ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$. 

Definition:Charakteristik

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft  ${}n\cdot 1_{R}=0$.  Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal in ${}R$. Zu  ${}a\in R$  heißt die Teilmenge

${}a+I={\left\{a+f\mid f\in I\right\}}\,$

die Nebenklasse von ${}a$ zum Ideal ${}I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu ${}I$.

Definition:Restklassenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

1. Als Menge ist ${}R/I$ die Menge der Nebenklassen zu ${}I$.
2. Durch

   ${}(a+I)+(b+I):=(a+b+I)\,$

   wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

3. Durch

   ${}(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)\,$

   wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

4.  ${}{\bar {0}}=0+I=I$  definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
5.  ${}{\bar {1}}=1+I$  definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Definition:Produktring

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Definition:Idempotentes Element

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn  ${}e^{2}=e$  gilt.

Definition:Eulersche ${}\varphi$-Funktion

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$. Man nennt ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition:Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

${}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Definition:Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element  ${}0\in V$  und mit zwei Abbildungen

$+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

und

$\cdot \colon K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v.$

Dann nennt man ${}V$ einen ${}K$-Vektorraum (oder einen Vektorraum über ${}K$), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig)

1.  ${}u+v=v+u$, 
2.  ${}(u+v)+w=u+(v+w)$, 
3.  ${}v+0=v$, 
4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit  ${}v+z=0$, 
5.  ${}1\cdot u=u$, 
6.  ${}r(su)=(rs)u$, 
7.  ${}r(u+v)=ru+rv$, 
8.  ${}(r+s)u=ru+su$. 

Definition:Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine Teilmenge  ${}U\subseteq V$  heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1.  ${}0\in U$. 
2. Mit  ${}u,v\in U$  ist auch  ${}u+v\in U$. 
3. Mit  ${}u\in U$  und  ${}s\in K$  ist auch  ${}su\in U$. 

Definition:Linearkombination

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Dann heißt der Vektor

$s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ${}(s_{1},\ldots ,s_{n})$).

Definition:Erzeugendensystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann heißt eine Familie ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor  ${}v\in V$  als

${}v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,$

mit einer endlichen Teilfamilie  ${}J\subseteq I$  und mit  ${}s_{j}\in K$  darstellen kann.

Definition:Aufgespannter Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, setzt man

$\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Definition:Linear unabhängig (endliche Familie)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ${}I$) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

$\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}s_{i}\in K$

nur bei  ${}s_{i}=0$  für alle ${}i$ möglich ist.

Definition:Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, von ${}V$ eine Basis von ${}V$.

Definition:Dimension

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von ${}V$ die Dimension von ${}V$, geschrieben

$\dim _{K}{\left(V\right)}.$

Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.

Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die ${}K$- Vektorraumdimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition:Algebra

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}R\rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man ${}A$ eine ${}R$-Algebra.

Definition:Algebrahomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$- Algebren über einem kommutativen Grundring ${}K$. Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

Definition:Erzeugte Algebra

Es sei ${}A$ eine ${}R$- Algebra und sei ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}A$. Dann heißt die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält, die von diesen Elementen erzeugte ${}R$-Algebra.[[Kategorie:erzeugte ${}R$-Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit ${}R[f_{i},\,i\in I]$ bezeichnet.

Definition:Algebraisches Element

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei  ${}f\in A$  ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom  ${}P\in K[X]$  mit  ${}P(f)=0$  gibt.

Definition:Minimalpolynom

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei  ${}f\in A$  ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom  ${}P\in K[X]$  mit  ${}P(f)=0$,  welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

${}M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$

den algebraischen Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Definition:Algebraische Zahlen

Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Definition:Quadratische Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Definition:Elementar konstruierbare Gerade

Es sei  ${}M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Eine Gerade  ${}G\subseteq E$  heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}P,Q\in M$, ${}P\neq Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von ${}P$ und ${}Q$ gleich ${}G$ ist.

Definition:Elementar konstruierbarer Kreis

Es sei  ${}M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Ein Kreis  ${}C\subseteq E$  heißt aus ${}M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte ${}Z,S\in M$, ${}Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}Z$ und durch den Punkt ${}S$ gleich ${}C$ ist.

Definition:Konstruierbar in einem Schritt

Es sei  ${}M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt  ${}P\in E$  aus ${}M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

1. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ mit  ${}G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$. 
2. Es gibt eine aus ${}M$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$ und einen aus ${}M$ elementar konstruierbaren Kreis ${}C$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt von ${}G$ und ${}C$ ist.
3. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

Es sei  ${}M\subseteq E$  eine Teilmenge der Ebene ${}E$. Dann heißt ein Punkt  ${}P\in E$  aus ${}M$ konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

$P_{1},\ldots ,P_{n}=P$

derart gibt, dass ${}P_{i}$ jeweils aus ${}M\cup \{P_{1},\ldots ,P_{i-1}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist.

Definition:Konstruierbare Zahl

Eine Zahl  ${}z\in {\mathbb {C} }\cong E$  heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge  ${}\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$  mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Definition:Konstruierbares regelmäßiges n-Eck

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Man sagt, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+{\mathrm {i} }\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$

eine konstruierbare Zahl ist.

Definition:Fermatsche Primzahl

Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$, wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.