Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Gruppenhomomorphismen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {G} {H
} {}
heißt \definitionswort {Gruppenhomomorphismus}{,} wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g')
}
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g,g'
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Die Abbildung
\maabbeledisp {} {\Z} {\Z
} {n} {dn
} {,}
ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
und das Bild ist die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z d
}
{ \subseteq }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt die Nullabbildung vor. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung die
\definitionsverweis {Identität}{}{,}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(d)
}
{ =} { \{0,1 , \ldots , d-1\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der in
Aufgabe 1.20
beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(d)
} {,}
die eine ganze Zahl $n$ auf ihren Rest bei Division durch $d$ abbildet, ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Sind nämlich
\mathkor {} {m=ad+r} {und} {n=bd+s} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ r,s
}
{ < }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m+n
}
{ =} {(a+b)d +r+s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei allerdings
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r+s
}
{ \geq }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein kann. In diesem Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(m+n)
}
{ =} { r+s-d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das stimmt mit der Addition von
\mathkor {} {r} {und} {s} {}
in
\mathl{\Z/(d)}{} überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir fassen den \definitionsverweis {komplexen Betrag}{}{} als Abbildung \maabbeledisp {\betrag { - }} { {\mathbb C}^{\times} = ({\mathbb C} \setminus \{ 0\}, \cdot ,1) } { (\R_{+} , \cdot ,1) } {z} { \betrag { z } } {,} auf. Dabei liegen links und rechts Gruppen vor, und nach Lemma 3.15 (4) liegt ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} vor. Die Abbildung ist surjektiv \zusatzklammer {da wir eben die positiven reellen Zahlen als Zielbereich gewählt haben} {} {,} aber nicht injektiv, da beispielsweise der gesamte Einheitskreis auf $1$ abgebildet wird.
}
Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und
\maabb {\varphi} {G} {H
} {}
sei ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (e_G)
}
{ = }{ e_H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi(g))^{-1}
}
{ = }{ \varphi { \left( g^{-1} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(e_G)
}
{ =} { \varphi(e_G e_G)
}
{ =} { \varphi(e_G) \varphi(e_G)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Multiplikation mit
\mathl{\varphi(e_G)^{-1}}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_H
}
{ = }{ \varphi(e_G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g^{-1} \right) } \varphi(g)
}
{ =} { \varphi { \left( g^{-1} g \right) }
}
{ =} { \varphi(e_G)
}
{ =} { e_H
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Das heißt, dass
\mathl{\varphi { \left( g^{-1} \right) }}{} die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von
\mathl{\varphi(g)}{} charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach
Lemma 1.4
eindeutig bestimmt ist, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g^{-1} \right) }
}
{ = }{ (\varphi(g))^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten.}
{}
{Gruppenhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien
\mathl{F,G,H}{}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Identität
\maabbdisp {\operatorname{Id}} { G} {G
} {}
ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
}{Sind
\mathkor {} {\varphi:F \rightarrow G} {und} {\psi: G \rightarrow H} {}
Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung
\maabb {\psi \circ \varphi} { F} {H
} {}
ein Gruppenhomomorphismus.
}{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
so ist die Inklusion
\mathl{F \hookrightarrow G}{} ein Gruppenhomomorphismus.
}{Es sei $\{e\}$ die
\definitionsverweis {triviale Gruppe}{}{.}
Dann ist die Abbildung
\mathl{\{e\} \rightarrow G}{,} die $e$ auf $e_G$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die
\zusatzklammer {konstante} {} {}
Abbildung
\mathl{G \rightarrow \{e\}}{} ein Gruppenhomomorphismus.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.2. }
Wir charakterisieren nun die Gruppenhomomorphismen von $\Z$ nach $G$.
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
$\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
fixiert. Dass die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi_g} { \Z} {G
} {n} {g^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist, ist eine Umformulierung
der Potenzgesetze.
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_g(1)
}
{ = }{ g^{1}
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus
\maabb {\varphi} {\Z} {G
} {}
durch
\mathl{\varphi(1)}{} eindeutig festgelegt, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(n)
}
{ = }{ (\varphi(1))^{n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $n$ positiv und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(n)
}
{ = }{ { \left( (\varphi(1))^{-1} \right) }^{-n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $n$ negativ gelten muss.
Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe $G$ nach $\Z$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von $\Z$ nach $\Z$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl $a$, also
\maabbeledisp {} {\Z} {\Z
} {x} {ax
} {.}
\zwischenueberschrift{Gruppenisomorphismen}
\inputdefinition
{}
{
Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{.} Einen bijektiven \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} nennt man einen \definitionswort {Isomorphismus}{} \zusatzklammer {oder eine \definitionswort {Isomorphie}{}} {} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Die \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {H} {und} {G} {} heißen \definitionswort {isomorph}{,} wenn es einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {G} {H } {} gibt.
}
\inputbeispiel{}
{
Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also
\mathl{(\R, \! 0, \! +)}{,} und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also
\mathl{(\R_+,1,\cdot )}{.} Dann ist die
\definitionsverweis {Exponentialabbildung}{}{}
\maabbeledisp {\exp} { \R } { \R_+
} { x } { \exp(x)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.}
Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung der
Funktionalgleichung
der Exponentialfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp(x+y)
}
{ =} { e^{x+y}
}
{ =} { e^x e^y
}
{ =} { \exp(x) \exp(y)
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus
dem Zwischenwertsatz.
Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.
}
\inputfaktbeweis
{Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Umkehrabbildung
\maabbeledisp {\varphi^{-1}} {H} { G
} {h} {\varphi^{-1}(h)
} {,}
ein Gruppenisomorphismus.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi^{-1} (h_1h_2)
}
{ =} { \varphi^{-1} { \left( \varphi (\varphi^{-1} (h_1)) \varphi (\varphi^{-1} ( h_2)) \right) }
}
{ =} { \varphi^{-1} { \left( \varphi { \left( \varphi^{-1} (h_1) \varphi^{-1} ( h_2) \right) } \right) }
}
{ =} { \varphi^{-1} (h_1) \varphi^{-1}(h_2)
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch
\definitionswortenp{Automorphismen}{.}
\zwischenueberschrift{Der Kern eines Gruppenhomomorphismus}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$, geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { \varphi^{-1}(e_H)
}
{ =} { { \left\{ g \in G \mid \varphi(g)=e_H \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Kern/Untergruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $G$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(e_G)
}
{ = }{e_H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_G
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,g'
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(g g')
}
{ =} { \varphi(g) \varphi(g')
}
{ =} { e_H e_H
}
{ =} { e_H
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g g'
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachte das inverse Element $g^{-1}$. Nach
Lemma 10.5
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g^{-1} \right) }
}
{ =} { (\varphi (g))^{-1}
}
{ =} { e_H^{-1}
}
{ =} { e_H
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^{-1}
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Group_homomorphism.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Group homomorphism.svg } {} {Cronholm 144} {Commons} {CC-by-Sa 2.5} {}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}}
\faktfolgerung {Ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {G} {H
} {}
ist genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$ trivial ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_G$ auf $e_H$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_H$ gehen, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ker \varphi
}
{ = }{ \{e_G\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g, \tilde{g}
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beide auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geschickt werden. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g \tilde{g}^{-1} \right) }
}
{ =} { \varphi(g) \varphi (\tilde{g})^{-1}
}
{ =} { h h^{-1}
}
{ =} { e_H
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \tilde{g}^{-1}
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \tilde{g}^{-1}
}
{ = }{ e_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach Voraussetzung und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{\tilde{g}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Das Bild eines Gruppenhomomorphismus}
\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Bild ist Untergruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $\varphi$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $H$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq }{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_H
}
{ = }{\varphi(e_G)
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_1,h_2
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_1,g_2
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {\varphi(g_1)=h_1} {und} {\varphi(g_2)=h_2} {.}
Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_1 \cdot h_2
}
{ = }{ \varphi(g_1) \cdot \varphi(g_2)
}
{ = }{ \varphi(g_1 \cdot g_2)
}
{ \in }{ B
}
{ }{}
}
{}{}{.}
Ebenso gibt es für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mathkor {} {g \in G} {mit} {\varphi(g)=h} {.}
Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^{-1}
}
{ = }{ (\varphi(g))^{-1}
}
{ = }{ \varphi(g^{-1})
}
{ \in }{ B
}
{ }{}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Betrachte die analytische Abbildung
\maabbeledisp {} {\R} {{\mathbb C}
} {t} {e^{ { \mathrm i} t}=\cos t + { \mathrm i} \sin t
} {.}
Aufgrund des Exponentialgesetzes
\zusatzklammer {bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen} {} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{ { \mathrm i} (t+s)}
}
{ = }{e^{ { \mathrm i} t} e^{ { \mathrm i} s}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher liegt ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von der additiven Gruppe
\mathl{(\R,+,0)}{} in die multiplikative Gruppe
\mathl{({\mathbb C}^{\times}, \cdot, 1)}{} vor. Wir bestimmen den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen $t$ bestimmen, für die
\mathdisp {\cos t = 1 \text{ und } \sin t = 0} { }
ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn $t$ ein ganzzahliges Vielfaches von $2 \pi$ ist. Der Kern ist also die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{2 \pi \Z}{.} Für einen Bildpunkt gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { e^{ { \mathrm i} t} }
}
{ = }{\sin^2 t + \cos^2 t
}
{ = }{1
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{,}
sodass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, sodass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.
}