Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 10
- Gruppenhomomorphismen
Es sei fixiert. Die Abbildung
ist ein Gruppenhomomorphismus. Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für ist die Abbildung injektiv und das Bild ist die Untergruppe . Bei liegt die Nullabbildung vor. Bei ist die Abbildung die Identität, bei ist die Abbildung nicht surjektiv.
Es sei . Wir betrachten die Menge
mit der in Aufgabe 1.19 beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung
die eine ganze Zahl auf ihren Rest bei Division durch abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus. Sind nämlich und mit gegeben, so ist
wobei allerdings sein kann. In diesem Fall ist
und das stimmt mit der Addition von und in überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.
Wir fassen den komplexen Betrag als Abbildung
auf. Dabei liegen links und rechts Gruppen vor, und nach Lemma 3.15 (4) liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Die Abbildung ist surjektiv (da wir eben die positiven reellen Zahlen als Zielbereich gewählt haben), aber nicht injektiv, da beispielsweise der gesamte Einheitskreis auf abgebildet wird.
Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.
Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist und für jedes .
Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir
Durch Multiplikation mit folgt
.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir
Das heißt, dass die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach
Lemma 1.4
eindeutig bestimmt ist, muss
gelten.
Es seien Gruppen.
Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die Identität
ist ein Gruppenhomomorphismus.
- Sind und Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Gruppenhomomorphismus.
- Ist eine Untergruppe, so ist die Inklusion ein Gruppenhomomorphismus.
- Es sei die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung , die auf schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung ein Gruppenhomomorphismus.
Beweis
Wir charakterisieren nun die Gruppenhomomorphismen von nach .
Es sei eine Gruppe.
Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz
Es sei fixiert. Dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus durch eindeutig festgelegt, da für positiv und für negativ gelten muss.
Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe nach sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von nach sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl , also
- Gruppenisomorphismen
Es seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also , und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also . Dann ist die Exponentialabbildung
ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes
Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.
Seien und Gruppen und sei
ein Gruppenisomorphismus.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus.
Dies folgt aus
Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen.
- Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben
Wegen ist . Seien . Dann ist
und daher ist auch . Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun und betrachte das inverse Element . Nach Lemma 10.5 ist
also auch .
Es seien und Gruppen.
Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von trivial ist.
Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist
und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .
- Das Bild eines Gruppenhomomorphismus
Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist das Bild von eine Untergruppe von .
Sei . Dann ist . Es seien . Dann gibt es mit und . Damit ist . Ebenso gibt es für ein mit . Somit ist .
Betrachte die analytische Abbildung
Aufgrund des Exponentialgesetzes (bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen) ist . Daher liegt ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe in die multiplikative Gruppe vor. Wir bestimmen den Kern und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen bestimmen, für die
ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Der Kern ist also die Untergruppe . Für einen Bildpunkt gilt , sodass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, sodass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.
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