Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - normierte Räume

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Satz von Hahn-Banach - normierte Räume[Bearbeiten]

Es seien nun

  • ein Untervektorraum eines normierten Raumes über dem Körper mit oder ;
  • eine Norm;
  • ein stetiges lineares Funktional, mit .

Dann gibt es ein stetiges lineares Funktional , so dass

  • und.
  • und .

Bemerkung[Bearbeiten]

Im Gegensatz zu den beiden Sätzen von Hahn-Banach im reellwertigen bzw. komplexwertigen wird in dem Satz von Hahn-Banach für normierte Räume eine Aussage über stetige lineare Funktionale gemacht. Die Stetigkeit wird mit dem Ziel betrachtet, eine Aussage über den topologischen Dualraum eines normierten Raumes zu machen.

Unterscheidung topologischer und algebraischer Dualraum[Bearbeiten]

  • topologischer Dualraum
  • algebraischer Dualraum

Über den Satz von Hahn-Banach für normierte Räume kann man im weiteren Verlauf zeigen, dass in einem topologischen Dualraum stetige lineare Funktionale existieren, also gilt.

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung[Bearbeiten]

Im Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen werden äquivalente Charakterisierungen der Stetigkeit genannt. Eine dieser Eigenschaften ist:

  • Es existiert ein mit für alle mit bzw.
  • Es existiert ein

D.h. die Stetigkeit der linearen Abbildung ist äquivalent zur Beschränktheit des Bildes von der Einheitskugel in .

Norm einer linearen Abbildung[Bearbeiten]

Seien und normierte Vektorräume über dem Körper und die Menge der linearen Abbildung von nach . Sei eine lineare Abbildung. Dann ist die Operatornorm

bezüglich der beiden Normen und durch

definiert. Für stetige lineare Abbildungen gilt .

Aufgaben[Bearbeiten]

  • Zeigen Sie, dass eine Halbnorm auf dem topologischen Dualraum ist!
  • Geben Sie mit ein Beispiel für an, bei dem keine Norm ist.

Beweisidee - Hahn-Banach - normierte Räume[Bearbeiten]

Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte:

  • Über die wird eine Halbnorm auf definiert und gezeigt, dass das die Voraussetzung für die Anwendung des reellen bzw. komplexen Falls des Satzes von Hahn-Banach erfüllt.
  • Im zweiten Teil des Beweises wird die Stetigkeit von mit gezeigt.

Beweisteil 1: Halbnormdefinition[Bearbeiten]

Da gilt und eine Norm auf ist, ist

eine Halbnorm auf (für sogar eine Norm)

Beweisschritt 1.1: Stetigkeit[Bearbeiten]

Mit der Linearität von und dem Betrag wird zu einem normierten Raum im Wertebereich der linearen Abbildung Norm . Das Kriterium (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen liefert dann:

Beweisschritt 1.2: Anwendung Hahn-Banach[Bearbeiten]

Ferner gilt nach dem komplexen Fall von Hahn-Banach, dass eine lineares Funktional , das folgenden beiden Eigenschaften:

  • und.
  • für alle

Beweisteil 2: Stetigkeit von F[Bearbeiten]

Der reelle bzw. komplexen Fall von Hahn-Banach liefert zwar ein lineares Funktional auf . Die Stetigkeit von ist aber noch durch die Beschränktheit der Operatornorm mit zu zeigen.

Beweisschritt 2.1: Abschätzung Operatornormen[Bearbeiten]

Zunächst einmal gilt wegen die Abschätzung

Beweisschritt 2.2: Abschätzung Operatornormen[Bearbeiten]

Ferner gilt aber auch durch Hahn-Banach, dass:

Für und der linearität von damit auch:

Beweisschritt 2.3: Supremum[Bearbeiten]

Man erhält durch Anwendung des Supremums auf die Ungleichung mit :

Beweisschritt 2.4:[Bearbeiten]

Insgesamt gilt mit 2.2 und 2.3 die Behauptung und da ebenfalls als Supremum beschränkt ist, ist nicht nur linear, sondern auch stetig. q.e.d.

Siehe auch[Bearbeiten]

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