Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - normierte Räume

Satz von Hahn-Banach - normierte Räume

Es seien nun

• $U\subseteq V$ ein Untervektorraum eines normierten Raumes $(V,\|\cdot \|)$ über dem Körper $\mathbb {K}$ mit $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} =\mathbb {C}$;
• $\|\cdot \|\colon V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ eine Norm;
• $f\colon U\to \mathbb {K}$ ein stetiges lineares Funktional, mit $\|f\|_{U}:=\sup\{|f(u)|\,:\,u\in U\wedge \|u\|\leq 1\}$.

Dann gibt es ein stetiges lineares Funktional $F\colon V\to \mathbb {K}$, so dass

• $F|_{U}=f$ und.
• $\|F\|_{V}=\|f\|_{U}$ und $\|F\|_{V}:=\sup\{|F(v)|\,:\,v\in V\wedge \|v\|\leq 1\}$.

Bemerkung

Im Gegensatz zu den beiden Sätzen von Hahn-Banach im reellwertigen bzw. komplexwertigen wird in dem Satz von Hahn-Banach für normierte Räume eine Aussage über stetige lineare Funktionale gemacht. Die Stetigkeit wird mit dem Ziel betrachtet, eine Aussage über den topologischen Dualraum $V'$eines normierten Raumes $(V,\|\cdot \|)$ zu machen.

Unterscheidung topologischer und algebraischer Dualraum

• $V':=\{f:V\to \mathbb {K} \,:\,f{\mbox{ linear, stetig }}\}$ topologischer Dualraum
• $V^{\ast }:=\{f:V\to \mathbb {K} \,:\,f{\mbox{ linear }}\}$ algebraischer Dualraum

Über den Satz von Hahn-Banach für normierte Räume kann man im weiteren Verlauf zeigen, dass in einem topologischen Dualraum stetige lineare Funktionale existieren, also $V'\not =\emptyset$ gilt.

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung

Im Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen werden äquivalente Charakterisierungen der Stetigkeit genannt. Eine dieser Eigenschaften ist:

• Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$ bzw.
• Es existiert ein $M>0$ $\|T\|_{\mathcal {L}}:=\sup\{\|T(x)\|_{Y}\,:\,x\in X\wedge \|x\|_{X}\leq 1\}\leq M$

D.h. die Stetigkeit der linearen Abbildung ist äquivalent zur Beschränktheit des Bildes von der Einheitskugel in $(X,\|\cdot \|)$.

Norm einer linearen Abbildung

Seien $(V,\|\cdot \|)$ und $(\mathbb {K} ,|\cdot |)$ normierte Vektorräume über dem Körper $\mathbb {K}$ und ${\mathcal {L}}(V,\mathbb {K} ):=\{f\colon V\to \mathbb {K} \mid f\ {\text{linear}}\}$ die Menge der linearen Abbildung von $V$ nach $\mathbb {K}$. Sei $f\colon V\rightarrow \mathbb {K}$ eine lineare Abbildung. Dann ist die Operatornorm

$\|{\cdot }\|_{\mathcal {L}}\;\colon \;{\mathcal {L}}(V,\mathbb {K} )\to \mathbb {R} _{0}^{+}\cup \{\infty \}$

bezüglich der beiden Normen $\|\cdot \|_{V}$ und $|\cdot |$ durch

$\|f\|_{\mathcal {L}}:=\inf \left\{C\geq 0\mid \forall v\in V\colon |f(v)|\leq C\cdot \|v\|_{V}\right\}$

definiert. Für stetige lineare Abbildungen $f$ gilt $\|f\|_{\mathcal {L}}<\infty$.

Aufgaben

• Zeigen Sie, dass $\|f\|_{U}:=\sup\{|f(u)|\,:\,u\in U\wedge \|u\|\leq 1\}$ eine Halbnorm auf dem topologischen Dualraum ist!
• Geben Sie mit $V=\mathbb {R} ^{3}$ ein Beispiel für $U\subset V$ an, bei dem $\|f\|_{U}:=\sup\{|f(u)|\,:\,u\in U\wedge \|u\|\leq 1\}$ keine Norm ist.

Beweisidee - Hahn-Banach - normierte Räume

Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte:

• Über die $\|f\|_{U}:=\sup\{|f(u)|\,:\,u\in U\wedge \|u\|\leq 1\}$ wird eine Halbnorm $p:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ auf $V$ definiert und gezeigt, dass das $f$ die Voraussetzung für die Anwendung des reellen bzw. komplexen Falls des Satzes von Hahn-Banach erfüllt.
• Im zweiten Teil des Beweises wird die Stetigkeit von $F$ mit $\|F(v)\|_{V}=\|f(u)\|_{U}$ gezeigt.

Beweisteil 1: Halbnormdefinition

Da $\|f\|_{U}:=\sup\{|f(u)|\,:\,u\in U\wedge \|u\|\leq 1\}\in \mathbb {R} _{o}^{+}$ gilt und $\|\cdot \|\colon V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ eine Norm auf $V$ ist, ist

$p:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}{\mbox{ mit }}p(x):=\|f\|_{U}\cdot \|x\|$

eine Halbnorm auf $V$ (für $\|f\|_{U}\not =0$ sogar eine Norm)

Beweisschritt 1.1: Stetigkeit

Mit der Linearität von $f$ und dem Betrag wird $(\mathbb {K} ,|\cdot |)$ zu einem normierten Raum im Wertebereich der linearen Abbildung Norm $f\colon U\to \mathbb {K}$. Das Kriterium (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen liefert dann:

$|f(u)|\leq \|f\|_{U}\cdot \|u\|=p(u){\mbox{ für alle }}u\in U$

Beweisschritt 1.2: Anwendung Hahn-Banach

Ferner gilt nach dem komplexen Fall von Hahn-Banach, dass eine lineares Funktional $F\colon V\to \mathbb {C}$, das folgenden beiden Eigenschaften:

• $F|_{U}=f$ und.
• $|F(v)|\leq p(v)$ für alle $v\in V$

Beweisteil 2: Stetigkeit von F

Der reelle bzw. komplexen Fall von Hahn-Banach liefert zwar ein lineares Funktional $F$ auf $V$. Die Stetigkeit von $F$ ist aber noch durch die Beschränktheit der Operatornorm $\|F\|_{V}$ mit $\|F\|_{V}=\|f\|_{U}$ zu zeigen.

Beweisschritt 2.1: Abschätzung Operatornormen

Zunächst einmal gilt wegen $F|_{U}=f$ die Abschätzung

${\begin{array}{rcl}\|f\|_{U}&:=&\sup\{|f(u)|\,:\,u\in U\wedge \|u\|\leq 1\}\\&=&\sup\{|F|_{U}(u)|\,:\,u\in U\wedge \|u\|\leq 1\}=\|F|_{U}\|_{U}\\&\leq &\sup\{|F(v)|\,:\,v\in V\wedge \|v\|\leq 1\}=\|F\|_{V}\\\end{array}}$

Beweisschritt 2.2: Abschätzung Operatornormen

Ferner gilt aber auch durch Hahn-Banach, dass:

$|F(v)|\leq p(v)=\|f\|_{U}\cdot \|v\|{\mbox{ für alle }}v\in V$

Für $v\not =\mathbb {0}$ und der linearität von $F$ damit auch:

$\left|F\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)\right|\leq p\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)=\|f\|_{U}{\mbox{ für alle }}v\in V\setminus \{\mathbb {0} \}$

Beweisschritt 2.3: Supremum

Man erhält durch Anwendung des Supremums auf die Ungleichung mit $|F(\lambda \cdot v)|\leq |F(v)|{\mbox{ für }}\lambda \in [0,1]$:

${\begin{array}{rcl}\|F\|_{V}&=&\sup\{|F(v)|\,:\,v\in V\wedge \|v\|\leq 1\}\\&=&\sup\{|F(v)|\,:\,v\in V\wedge \|v\|\ =1\}\\&=&\sup \left\{\left|F\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)\right|\,:\,v\not =\mathbb {0} \right\}\\&\leq &\sup \left\{p\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)\,:\,v\not =\mathbb {0} \right\}{\mbox{ wegen }}\left|F\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)\right|\leq p\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)\\&=&\|f\|_{U}\end{array}}$

Beweisschritt 2.4:

Insgesamt gilt mit 2.2 und 2.3 die Behauptung $\|f\|_{U}=\|F\|_{V}$ und da $\|F\|_{V}$ ebenfalls als Supremum beschränkt ist, ist $F:V\to \mathbb {K}$ nicht nur linear, sondern auch stetig. q.e.d.

Siehe auch

• Normen, Metriken, Topologie
• Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen
• Satz von Hahn-Banach - reeller Fall
• Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall

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