Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Äquivalenzaussage[Bearbeiten]

Seien und normierte Räume über dem Körper und

eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • (1) T ist stetig in jedem Punkt
  • (2) T ist stetig im Nullvektor
  • (3) Es existiert ein mit für alle mit
  • (4) Es existiert ein mit für alle ,

Beweis[Bearbeiten]

Ringschluss von (1) (2) (3) (4) (1)

Folgerung (1) nach (2)[Bearbeiten]

klar, da der Nullvektor

Folgerung (2) nach (3) - Teil 1[Bearbeiten]

Wir zeigen die Kontraposition. Annahme, dass die Menge unbeschränkt ist. D.h. es gibt eine Folge mit dem Nullvektor mit

.

Damit erzeugen wir eine Folge

Damit erhält man auch die Unstetigkeit in mit:

.

Folgerung (2) nach (3) - Teil 2[Bearbeiten]

Auf der anderen Seite ist aber auch eine Nullfolge in , denn:

Bei konvergiert gegen den Nullvektor aus . Bei einer stetigen linearen Abbildung in müsste damit auch gelten und die Bildfolge gegen den Nullvektor konvergieren. Es gilt aber . Daher ist nicht stetig in .

Folgerung (3) nach (4) - Fall 1[Bearbeiten]

Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein mit für alle mit . Man wählt für das gesucht der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene und betrachtet die Fallunterscheidung für und :

  • Fall 1: Für den Nullvektor in gilt die Behauptung (4), denn:

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2[Bearbeiten]

  • Fall 2: Sei nun und beliebig gewählt. Dann gilt mit , dass
Damit kann die Aussage (3) auf angewendet werden und man erhält:
Insgesamt erhält man (3): bzw.

Folgerung (4) nach (1) - Teil 1[Bearbeiten]

Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein mit für alle . Ferner sei beliebig gewählt. Ferner sein ein Folge in gegeben, die gegen konvergiert. Man muss nun zeigen, dass die Folge gegen konvergiert.

Folgerung (4) nach (1) - Teil 2[Bearbeiten]

Die Konvergenz der Folge gegen wird wie folgt abgeschätzt:

,

da in gegen konvergiert und mit durch Abschätzung auch konvergiert.

Operatornorm[Bearbeiten]

Alternative Aussage[Bearbeiten]

Alternativ zu (3) kann man die Aussage auch wie folgt formulieren

(3') Es existiert ein mit

Dies ist äquivalent zu

Definition: Operatornorm[Bearbeiten]

Seien und normierte Vektorräume über dem Körper und die Menge der linearen Abbildung von nach . sei ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

bezüglich der Vektornormen und durch

definiert.


Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

Diese Lernresource wurde als Wiki2Reveal Foliensatz erstellt.

Wiki2Reveal[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.