Stetigkeitsatz für Lineare Abbildungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Äquivalenzaussage[Bearbeiten]

Seien und normierte Räume über dem Körper und

eine lineare Abbildungen, dann sind folgenden Aussage äquivalent:
  • (1) T ist stetig in jedem Punkt
  • (2) T ist stetig im Nullvektor
  • (3) Es existiert ein mit für alle mit
  • (4) Es existiert ein mit für alle ,

Beweis[Bearbeiten]

Ringschluss von (1) (2) (3) (4)

(1) (2)[Bearbeiten]

klar, da der Nullvektor

(2) (3)[Bearbeiten]

Annahme, dass die Menge unbeschränkt ist