Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall

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Satz von Hahn-Banach - komplexer Fall[Bearbeiten]

Es seien nun

  • ein Untervektorraum eines -Vektorraumes ;
  • eine Halbnorm;
  • ein lineares Funktional, für das für alle gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional , so dass

  • und.
  • für alle gilt.

Bemerkung[Bearbeiten]

Der folgenden Beweis geht auf Bohnenblust und Sobczyk[1] aus dem Jahr 1938 zurück. Bohnenblust und Sobczyk haben den reellen Fall von Hahn-Banach auf Banachräume über dem Körper erweitert.

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis nutzt den Satz von Hahn-Banach in . Daher gliedert sich der Beweis in vier Teile:

  • Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion eines linearen Abbildung,
  • Die Erweiterung der lineare Realteilfunktion mit dem reellen Hahn-Banach zu und Definition der komplexen Erweiterung
  • -Linerarität von aus -Linerarität von folgern.
  • Nachweis der Eigenschaften und für alle .

Beweisteil 1: Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion[Bearbeiten]

Sei ein -lineares Funktional auf einem beliebigen Untervektorraum . Nun definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktionen als reellwertige Abbildung wie folgt.

  • mit und
  • mit .

Wir zeigen nun für in Beweisteil 1, dass die so definierten Abbildung auch -lineare Abbildungen sind.

Bemerkung 1: Anwendung auf lineare Funktionale[Bearbeiten]

Der im Folgende behandelte Zusammenhang zwischen Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion von einem linearen Funktional wird später sowohl für eine gegebene Funktion auf als auch für die Erweiterung auf ganz mit verwendet.

Beweisschritt 1.1: Eigenschaften Linearität[Bearbeiten]

Seien nun und . Dann liefert die -Linearität von

Beweisschritt 1.2: Realteil- und Imaginärteilvergleich[Bearbeiten]

Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn der Realteil und der Imaginärteil der beiden Zahlen übereinstimmen. D.h. aus

Also liefert der Realteil- und Imaginärteilvergleich.

  • und
  • .

Damit sind die Funktionen und auch -linear.

Beweisschritt 1.3: Zusammenhang Realteil- und Imaginärteilfunktion[Bearbeiten]

Die Funktionen und können aber nicht unabhängig -linear definiert werden. Sie sind abhängig. Dies zeigt:

Analog erhält man durch Vergleich von Realteil und Imaginärteil die Gleichungen und .

Beweisschritt 1.4: Darstellung der linearen Abbildung[Bearbeiten]

Durch Anwendung des Realteil- und Imaginärteilvergleichs erhält man mit folgende Gleichungskette:

Damit kann man durch ersetzen und erhält:

Beweisteil 2: Erweiterung der reell-linearen Funktion g[Bearbeiten]

Durch den ersten Beweisteil wurde gezeigt, dass ein komplexwertiges lineares Funktionals bereits durch die -lineare Realteilfunktion eindeutig bestimmt ist und die Imaginärteilfunktion über eindeutig durch definiert ist. Auf wird nun der reelle Hahn-Banach angewendet.

Beweisschritt 2.1: Halbnormbeschränkung[Bearbeiten]

Zunächst einmal muss man nachweisen, dass die Voraussetzung für die Anwendung des Hahn-Banach - reellwertiger Fall für die Halbnormbeschränkung gegeben sind. Für alle gilt:

Beweisschritt 2.2: Halbnormbeschränkung für Betrag[Bearbeiten]

Da nach Voraussetzung mit für alle gilt mit dem Beweisschritt 2.1 die Abschätzung:

Beweisschritt 2.3: Reellwertiger Grundvektorraum[Bearbeiten]

Mit kann man den Grundraum und den Untervektorraum auch als reellen Vektorraum auffassen, auf dem das -lineare Funktional definiert ist. Durch Anwendung des reellen Falles von Hahn-Banach erhält man ein lineares Funktional , so dass

  • und.
  • für alle gilt.

Beweisschritt 2.3: Definition von F über G[Bearbeiten]

Man definiert nun die Abbildung wie bzgl. Beweisteil 1 folgt:

wobei ebenso wie auch -linear ist.

Beweisteil 3: Linearität von F[Bearbeiten]

In Beweisteil 1 wurde gezeigt, dass jedes -lineare Funktional bereits durch ein -lineare Funktional definiert ist. Zu zeigen ist noch, dass die über

auch -linear ist.

Bemerkung 3.0: Ersetzung der 1[Bearbeiten]

In den folgenden Gleichungsketten wird eine grundlegende Umformung in den komplexen Zahlen verwendet, die in Gleichungsketten dabei hilft, ein fehlendes in einem Term zu ergänzen. Diese Ergänzung erfolgt durch eine Ersetzung der 1:

Beweisschritt 3.1: Additivität von F[Bearbeiten]

Für gilt :

Beweisschritt 3.2: Homogenität von F[Bearbeiten]

Für , und gilt:

Beweisteil 4: Hahn-Banach Eigenschaften von F[Bearbeiten]

Mit Beweisteil 3 existiert nun ein lineares Funktional für das noch die beiden Eigenschaften aus der Behauptung nachgewiesen werden müssen. Der reelle Fall von Hahn-Banach liefert zunächst nur die Eigenschaften für . Also bleibt zu zeigen:

  • und.
  • für alle gilt.

Beweisschritt 4.1: Einschränkung von F auf U[Bearbeiten]

Sei beliebig gewählt. Weil ein Untervektorraum des -Vektorraumes ist, liegt auch . Damit erhält man:

Beweisschritt 4.2: Halbnormbeschränkung[Bearbeiten]

Für den Nachweis der Ungleichung für alle erfolgt eine Fallunterscheidung für:

  • und
  • .

Beweisschritt 4.3: Halbnormbeschränkung[Bearbeiten]

Fall : Da eine Halbnorm ist, gilt . Damit erhält man für die Gültigkeit der Ungleichung direkt über:

Beweisschritt 4.4: Halbnormbeschränkung[Bearbeiten]

Fall : Im zweiten Fall sei nun mit , und . Mit dreht man das komplexwertige so um den Nullpunkt in der Gaußschen Zahlenebene, dass so, dass gilt und damit auf der positiven reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene liegt.

Beweisschritt 4.5: Halbnormbeschränkung[Bearbeiten]

Damit erhält man folgende Ungleichung:

mit für alle .

Beweisschritt 4.6[Bearbeiten]

Damit besitzt insgesamt das lineares Funktional die folgenden beiden Eigenschaften:

  • und.
  • für alle

Damit folgt der komplexe Fall von Hahn-Banach. q.e.d.

Siehe auch[Bearbeiten]

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Wiki2Reveal[Bearbeiten]

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Quellen/Literatur[Bearbeiten]

  1. Bohnenblust, H. F.; Sobczyk, A. Extensions of functionals on complex linear spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), no. 2, 91--93. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183500302