Integralformel von Cauchy

Einführung

Die Cauchysche Integralformel ist neben dem Integralsatz von Cauchy eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für nullhomologe Zyklen. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen.

Bezeichnung - CIF - CIS

Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von $f:G\to \mathbb {C}$ mit dem Lemma von Goursat in die Integraldarstellung $f(z)=...\int _{\gamma }\ldots dz$ eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein Holomorphiekriterium darstellt:

{\begin{array}{cccl}\mathbf {(CIF)} &f(z)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi \\\mathbf {(CIS)} &0&=&\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz\\\end{array}}

Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ

Die Cauchy-Integralformel (CIF) und Der Cauchy-Integralsatz (CIS) kann man dann auf nullhomologe Zyklen erweitern:

{\begin{array}{crcl}\mathbf {(CIF-NZ)} &f(z)\cdot n(\Gamma ,z)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi \\\mathbf {(CIS-NZ)} &0&=&\displaystyle \oint _{\Gamma }f(z)\,dz\\\end{array}}

Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $D:=D_{r}(z_{o})\subset G$ eine Kreisscheibe mit ${\bar {D}}\subseteq G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

für jedes $z\in D$ .

Beweis - CIF für Kreisscheiben

Der Beweis für den CIF für Kreisscheiben erfolgt in den folgenden Schritten:

Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt $z\in U$ eine Funktion $g\colon U\to \mathbb {C}$ definiert, die in $z$ der Ableitung von $f$ entspricht $g(z)=f'(z)$ und sonst dem Differenzenquotient von $f$ .
Damit ist $g$ als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von $f$ zumindest noch stetig.
Man wendet das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an.

Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus in $G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

n(\Gamma ,z)\cdot f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

für jedes $z\in G\setminus \mathrm {Spur} (\Gamma )$ , dabei bezeichnet $n(\Gamma ,\cdot )$ die Umlaufzahl.

Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen

Analog zum Beweis für den CIF für Kreisscheiben erfolgt das Vorgehen für nullhomologe Zyklen in den folgenden Schritten:

Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt $z\in U$ eine Funktion $g\colon U\to \mathbb {C}$ definiert, die in $z$ der Ableitung von $f$ entspricht $g(z)=f'(z)$ und sonst dem Differenzenquotient von $f$ .
Damit ist $g$ als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von $f$ zumindest noch stetig.
Man erzeugt eine ganze Funktion $h:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ aus $g$ und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des Satzes von Liouville).

Beweis 1 - Definition von g

Definiere eine Funktion $g\colon G\times G\to \mathbb {C}$ durch

g(z,w):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}&w\neq z\\f'(z)&w=z\end{array}}\right.

definiert.

Beweis 2 - g stetig

Man muss nun die Stetigkeit in beiden Variablen zeigen, wobei $(w_{0},z_{0})\in U_{1}\times U_{2}$ gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung $(w_{0},z_{0})$ .

Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1

Fall 1 $\mathbf {z_{0}\neq w_{0}}$ : Ist $(w_{0},z_{0})\in U_{1}\times U_{2}$ mit $z_{0}\neq w_{0}$ , so gibt es eine Umgebung $D_{\delta }(w_{0})\times D_{\delta }(z_{0})$ , sodass für alle $(w,z)\in D_{\delta }(w_{0})\times D_{\delta }(z_{0})$ gilt, dass $w\not =z$ erfüllt. Damit $g(w,z)$ durch den Differenzenquotient dargestellt und $g$ ist damit in damit an der Stelle $(w_{0},z_{0})$ trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf $D_{\delta }(w_{0})\times D_{\delta }(z_{0})$ ist. Es sei $z_{0}=w_{0}$ .

Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2

Fall 2 $\mathbf {z_{0}=w_{0}}$ : Man wählt nun wieder eine $\delta$ -Umgebung $D_{\delta }(z_{0})\subset G$ und untersucht die Differenz $g(w,z)-g(z_{0},z_{0})$ auf $D_{\delta }(z_{0})\times D_{\delta }(z_{0})$ . Für die Stetigkeit in $(z_{0},z_{0})$ muss man die Konvergenz der Differenz gegen $0$ nachweisen, wenn $(w,z)\to (z_{0},z_{0})$ konvergiert.

Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich

Fall 2a $\mathbf {z_{0}=w_{0}}$ und $w=z$ : Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von $g$ für $w=z$ :

g(z,z)-g(z_{0},z_{0})=f'(z)-f'(z_{0})

Da $f'$ stetig ist, konvergiert $f'(z)$ gegen $f'(z_{0})$ für $z\to z_{0}$ .

Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Fall 2b $\mathbf {z_{0}=w_{0}}$ und $w\not =z$ : Durch Einsetzen im Fall $w\neq z$ erhält man:

{\begin{array}{rcl}g(w,z)-g(z_{0},z_{0})&=&\displaystyle \underbrace {\frac {f(w)-f(z)}{w-z}} _{=g(w,z)}-\underbrace {f'(z_{0})} _{=g(z_{0},z_{0})}\\&=&\displaystyle {\frac {{\big (}f(w)-f(z){\big )}-{\big (}f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z{\big )}}{w-z}}\end{array}}

Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und Stammfunktionen als Wegintegrale dargestellt.

Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Sei ${\widehat {f}}:{\widehat {G}}\to \mathbb {C}$ eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet ${\widehat {G}}$ . Dann besitzt ${\widehat {f}}$ eine Stammfunktion ${\widehat {F}}:{\widehat {G}}\to \mathbb {C}$ auf ${\widehat {G}}$ , die als Wegintegral von einem festen Punkt ${\widehat {z_{0}}}\in {\widehat {G}}$ nach $z$ definiert ist.

{\widehat {F}}(z):=\int _{\gamma _{z}}{\widehat {f}}(\xi )\,d\xi =\int _{[z_{o},z]}{\widehat {f}}(\xi )\,d\xi

Dabei ist $\gamma _{z}$ die Konvexkombination mit $\gamma _{z}(t)=(1-t)\cdot z_{o}+t\cdot z$

Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf ${\widehat {F}}:=f$ und ${\widehat {f}}:=f'$ . Als konvexes Teilgebiet ${\widehat {G}}:=D_{\delta }(z_{0})$ verwendet man die Kreisscheibe in $G$ . Man erhält damit die Integraldarstellung:

f(z):=\int _{\gamma _{z}}f'(\xi )\,d\xi =\int _{[z_{o},z]}f'(\xi )\,d\xi

Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet.

Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Mit dem Lemma von Goursat gilt für das Integral über den Dreiecksrand $\langle z_{0},z,w\rangle$ folgende Gleichung:

0=\int _{\langle z_{0},z,w\rangle }f'(\xi )\,d\xi =\underbrace {\int _{[z_{o},z]}f'(\xi )\,d\xi } _{=f(z)}+\int _{[z,w]}f'(\xi )\,d\xi +\underbrace {\int _{[w,z_{o}]}f'(\xi )\,d\xi } _{=-f(w)}

Damit kann man die Differenz $f(w)-f(z)=\int _{[z,w]}f'(\xi )\,d\xi$ als Wegintegral darstellen.

Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf ${\widehat {F}}(z):=f'(z_{o})\cdot z$ und ${\widehat {f}}(z):=f'(z_{o})$ als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder ${\widehat {G}}:=D_{\delta }(z_{0})$ verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für $f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z$ mit:

f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z=f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z=\int _{[z,w]}f'(z_{0})\,d\xi

Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen:

{\big (}f(w)-f(z){\big )}-{\big (}f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z{\big )}=\int _{[z,w]}(f'(\xi )-f'(z_{0}))\,d\xi

Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2

{\begin{array}{rcl}g(w,z)-g(z_{0},z_{0})&=&\underbrace {\frac {f(w)-f(z)}{w-z}} _{=g(w,z)}-\underbrace {f'(z_{0})} _{=g(z_{0},z_{0})}\\&=&{\frac {{\big (}f(w)-f(z){\big )}-{\big (}f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z{\big )}}{w-z}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{w-z}}\int _{[z,w]}(f'(\xi )-f'(z_{0}))\,d\xi \end{array}}

Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die Stetigkeit der Ableitung $f'$ in $z_{0}$ nutzen.

Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Die Stetigkeit einer holomorphen Funktion $f'$ wird nun über das $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium wird auf die Stelle $z_{o}$ genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem $\epsilon >0$ also $\delta _{o}>0$ so wählen, dass

|f'(\xi )-f'(z_{0})|<\epsilon

für alle $\xi \in U_{\delta _{o}}(z_{0})$ erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei $\delta _{o}\leq \delta$ .

Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man:

{\begin{array}{rcl}|g(w,z)-g(z_{0},z_{0})|&=&\displaystyle \left|{\frac {1}{w-z}}\cdot \int _{[z,w]}(f'(\xi )-f'(z_{0}))\,d\xi \,\,\right|\\&\leq &\underbrace {{\frac {1}{|w-z|}}\cdot |w-z|} _{=1}\cdot \sup \limits _{w\in [w,z]}|f'(v)-f'(z_{0})|<\epsilon \end{array}}

Dabei wurden Ungleichungen und $|w-z|$ entsteht als Länge des Integration $[w,z]$ als Konvexkombination.

Beweis 3 - Integral über Zyklus

Man definiert nun eine Funktion $h_{0}$ , die das Wegintegral über die Funktion $g$ definiert, wobei man $z$ fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von $g$ verwendet.

h_{0}(z)=\int _{\Gamma }g(w,z)dw.

Beweis 4 - Satz von Morera

In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass $g$ eine stetige Funktion ist. Damit ist $h_{0}$ als Integral über den Zyklus $\Gamma$ bzgl. $g$ ebenfalls eine auf ganz $G$ stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass $h_{0}$ sogar holomorph ist. Dazu wird der Satz von Morera verwendet, der die folgende Richtung des Holomorphiekriteriums liefert:

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0\quad \Longrightarrow \quad f\,{\mbox{ holomorph}}

Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege

Es sei also $\gamma$ der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in $G$ liegt, wir müssen

\int _{\gamma }h_{0}(z)dz=0

nachweisen. Es ist

\int _{\gamma }h_{0}(z)dz=\int _{\gamma }\int _{\Gamma }g(w,z)dw\,dz=\int _{\Gamma }\int _{\gamma }g(w,z)dz\,dw

da wegen der Stetigkeit des Integranden auf $G\times G$ die Integrationen vertauschbar sind. Für festes $w$ ist die Funktion $g(w,z)$ in der Variable $z$ stetig und holomorph für $w\neq z$ , also überhaupt holomorph.

Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete

Nach dem Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete folgt

\int _{\gamma }g(w,z)\,dz=0.

Damit ist natürlich auch

\int _{\gamma }h_{0}(z)\,dz=\int _{\Gamma }{\bigg (}\underbrace {\int _{\gamma }g(w,z)\,dz} _{=0}{\bigg )}\,dw=0.

Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus

Bisher wurde die Voraussetzung über den Zyklus $\Gamma$ , nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge $G_{0}$ der Punkte, die von $\Gamma$ nicht umlaufen werden.

G_{0}=\{z\in \mathbb {C} :n(\Gamma ,z)=0\}.

Das Komplement $G_{0}^{c}\subset G$ liegt ganz in $G$ , da kein Punkte aus dem Komplement von $G$ umlaufen werden.

Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie

Da auf $G\cap G_{0}$ die Funktion $h_{0}$ sich einfacher schreibt, nämlich

{\begin{array}{rcl}h_{0}(z)&=&\displaystyle -\int _{\Gamma }{\frac {f(z)}{w-z}}dw\quad +\quad {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&=&\displaystyle \underbrace {-f(z)\cdot \underbrace {\int _{\Gamma }{\frac {1}{w-z}}dw} _{=\,n(\Gamma ,z)\cdot 2\pi i\,=\,0}} _{=0}+\underbrace {\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw} _{=:h_{1}(z)}\\\end{array}}

Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen

Da die Funktion $h_{1}$ aber offenbar auf ganz $G_{0}$ und damit auch $\mathbb {C} \setminus G$ holomorph ist, kann man $h_{0}$ durch

h(z)=\left\{{\begin{array}{ll}h_{0}(z)&z\in G\setminus G_{0}\\h_{1}(z)&z\in G_{0}\end{array}}\right.

zu einer auf ganz $G\cup G_{0}$ erklärten holomorphen Funktion $h$ fortsetzen.

Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie

Nun ist $\Gamma$ nullhomolog in $G$ und damit

G\cup G_{0}=\mathbb {C} ,

d.h. $h$ ist eine ganze Funktion.

Beweis 11 - Beschränktheit von h

Für $h$ haben wir auf $G_{0}$ die Bezeichnung

|h(z)|=|h_{1}(z)|\leq {\frac {1}{dist(z,\Gamma )}}\cdot {\mathcal {L}}(\Gamma )\cdot \max _{z\in Spur(\Gamma )}|f(z)|\;\;\;(*);

dabei ist ${\mathcal {L}}(\Gamma )=\sum _{k=1}^{n}|n_{k}|\cdot {\mathcal {L}}(\gamma _{k})$ , wenn der Zyklus als $\Gamma =\sum _{k=1}^{n}n_{k}\cdot \gamma _{k}$ definiert worden ist.

Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville

$G_{0}$ enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um $0$ . Dort gilt also die obige Ungleichung für alle $z$ : es folgt, dass $h$ beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant ist. Man wählt nun eine Folge $(z_{m})_{m\in \mathbb {N} }\in G_{0}^{\mathbb {N} }$ mit $|z_{m}|\geq m$ . Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man:

\lim \limits _{m\to \infty }h(z_{m})\leq \lim \limits _{m\to \infty }\overbrace {\frac {1}{\,\,\underbrace {dist(z_{m},\Gamma )} _{\to +\infty }\,\,}} ^{\to 0}\cdot C=0,

insgesamt also $h\equiv 0$ , insbesondere $h_{0}\equiv 0$ .

Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G

Da $h(z)=0$ gilt, erhält man für alle $z\in G$ die Gleichung:

{\begin{array}{rcl}0&=&\displaystyle -\int _{\Gamma }{\frac {f(z)}{w-z}}dw\quad +\quad {\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&=&\displaystyle -f(z)\cdot \underbrace {\int _{\Gamma }{\frac {1}{w-z}}dw} _{=n(\Gamma ,z)\cdot 2\pi i}+\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\\end{array}}

Auf $f(z)$ kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da $f(z)$ unabhängig von der Integrationsvariable $w$ ist.

Beweis 14 - Aussage des Satzes

Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus $\Gamma$ :

f(z)\cdot \underbrace {{\frac {1}{2\pi i}}\cdot \underbrace {\int _{\Gamma }{\frac {1}{w-z}}dw} _{=n(\Gamma ,z)\cdot 2\pi i}} _{=n(\Gamma ,z)}={\frac {1}{2\pi i}}\cdot \int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw

Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. $\quad \Box$

Folgerungen

Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung $f^{(n)}$ einer holomorphen Funktion $f$ unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus $\Gamma$ auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die Cauchy-Integralformel auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in $z$ unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten

Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $D$ eine Kreisscheibe mit ${\bar {D}}\subseteq G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und für jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt

f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw

für jedes $z\in D$ .

Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

n(\Gamma ,z)\cdot f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw

für jedes $z\in G\setminus \mathrm {spur} (\Gamma )$ und jedes $n\in \mathbb {N}$ .

Korollar 3 - CIS-NZ

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph, dann gilt auch der Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen.

Beweis

Für den Beweis und weitere Anmerkungen siehe Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen.

Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen

Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist:

Aussage - Analytizität

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Sei $z_{0}\in G$ und $r>0$ so, dass ${\bar {B}}_{r}(z_{0})\subseteq G$ gilt. Dann ist $f$ auf $B_{r}(z_{0})$ durch eine konvergente Potenzreihe