Integralformel von Cauchy

Einführung

Die Cauchysche Integralformel ist neben dem Integralsatz von Cauchy eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für nullhomologe Zyklen. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen.

Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $D:=D_{r}(z_{o})\subset G$ eine Kreisscheibe mit ${\bar {D}}\subseteq G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

für jedes $z\in D$ .

Beweis - CIF für Kreisscheiben

Der Beweis für den CIF für Kreisscheiben erfolgt in den folgenden Schritten:

Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt $z\in U$ eine Funktion $g\colon U\to \mathbb {C}$ definiert, die in $z$ der Ableitung von $f$ entspricht $g(z)=f'(z)$ und sonst dem Differenzenquotient von $f$ .
Damit ist $g$ als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von $f$ zumindest noch stetig.
Nun wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an.

Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus in $G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

n(\Gamma ,z)\cdot f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

für jedes $z\in G\setminus \mathrm {Spur} (\Gamma )$ , dabei bezeichnet $n(\Gamma ,\cdot )$ die Umlaufzahl.

Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen

Analog zum Beweis für den CIS für Kreisscheiben erfolgt das Vorgehen für nullhomologe Zyklen in den folgenden Schritten:

Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt $z\in U$ eine Funktion $g\colon U\to \mathbb {C}$ definiert, die in $z$ der Ableitung von $f$ entspricht $g(z)=f'(z)$ und sonst dem Differenzenquotient von $f$ .
Damit ist $g$ als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von $f$ zumindest noch stetig.
Nun wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an.

Beweis 1 - Definition von g

Definiere eine Funktion $g\colon G\times G\to \mathbb {C}$ durch

g(z,w):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}&w\neq z\\f'(z)&w=z\end{array}}\right.

definiert.

Beweis 2 - g stetig

Man muss nun die Stetigkeit in beiden Variablen zeigen, wobei $(w_{0},z_{0})\in U\times U$ gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung $(w_{0},z_{0})$ .

Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1

Fall 1 $\mathbf {z_{0}\neq w_{0}}$ : Ist $(w_{0},z_{0})\in U\times U$ mit $z_{0}\neq w_{0}$ , so gibt es eine Umgebung $D_{\delta }(w_{0})\times D_{\delta }(z_{0})$ , sodass für alle $(w,z)\in D_{\delta }(w_{0})\times D_{\delta }(z_{0})$ gilt, dass $w\not =z$ erfüllt. Damit $g(w,z)$ durch den Differenzenquotient dargestellt und $g$ ist damit in damit an der Stelle $(w_{0},z_{0})$ trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf $D_{\delta }(w_{0})\times D_{\delta }(z_{0})$ ist. Es sei $z_{0}=w_{0}$ .

Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2

Fall 2 $\mathbf {z_{0}=w_{0}}$ : Man wählt nun wieder eine $\delta$ -Umgebung $D_{\delta }(z_{0})\subset G$ und untersucht die Differenz $g(w,z)-g(z_{0},z_{0})$ auf $D_{\delta }(z_{0})\times D_{\delta }(z_{0})$ . Für die Stetigkeit in $(z_{0},z_{0})$ muss man die Konvergenz der Differenz gegen $0$ nachweisen, wenn $(w,z)\to (z_{0},z_{0})$ konvergiert.

Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich

Fall 2a $\mathbf {z_{0}=w_{0}}$ und $w=z$ : Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von $g$ für $w=z$ :

g(z,z)-g(z_{0},z_{0})=f'(z)-f'(z_{0})

Da $f'$ stetig ist, konvergiert $f'(z)$ gegen $f'(z_{0})$ für $z\to z_{0}$ .

Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Fall 2b $\mathbf {z_{0}=w_{0}}$ und $w\not =z$ : Durch Einsetzen im Fall $w\neq z$ erhält man:

{\begin{array}{rcl}g(w,z)-g(z_{0},z_{0})&=&\displaystyle \underbrace {\frac {f(w)-f(z)}{w-z}} _{=g(w,z)}-\underbrace {f'(z_{0})} _{=g(z_{0},z_{0})}\\&=&\displaystyle {\frac {{\big (}f(w)-f(z){\big )}-{\big (}f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z{\big )}}{w-z}}\end{array}}

Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und Stammfunktionen als Wegintegrale dargestellt.

Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Sei ${\widehat {f}}:{\widehat {G}}\to \mathbb {C}$ eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet ${\widehat {G}}$ . Dann besitzt ${\widehat {f}}$ eine Stammfunktion ${\widehat {F}}:{\widehat {G}}\to \mathbb {C}$ auf ${\widehat {G}}$ , die als Wegintegral von einem festen Punkt ${\widehat {z_{0}}}\in {\widehat {G}}$ nach $z$ definiert ist.

{\widehat {F}}(z):=\int _{\gamma _{z}}{\widehat {f}}(\xi )\,d\xi =\int _{[z_{o},z]}{\widehat {f}}(\xi )\,d\xi

Dabei ist $\gamma _{z}$ die Konvexkombination mit $\gamma _{z}(t)=(1-t)\cdot z_{o}+t\cdot z$

Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf ${\widehat {F}}:=f$ und ${\widehat {f}}:=f'$ . Als konvexes Teilgebiet ${\widehat {G}}:=D_{\delta }(z_{0})$ verwendet man die Kreisscheibe in $G$ . Man erhält damit die Integraldarstellung:

f(z):=\int _{\gamma _{z}}f'(\xi )\,d\xi =\int _{[z_{o},z]}f'(\xi )\,d\xi

Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet.

Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Mit dem Lemma von Goursat gilt für das Integral über den Dreiecksrand $\langle z_{0},z,w\rangle$ folgende Gleichung:

0=\int _{\langle z_{0},z,w\rangle }f'(\xi )\,d\xi =\underbrace {\int _{[z_{o},z]}f'(\xi )\,d\xi } _{=f(z)}+\int _{[z,w]}f'(\xi )\,d\xi +\underbrace {\int _{[w,z_{o}]}f'(\xi )\,d\xi } _{=-f(w)}

Damit kann man die Differenz $f(w)-f(z)=\int _{[z,w]}f'(\xi )\,d\xi$ als Wegintegral darstellen.

Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf ${\widehat {F}}(z):=f'(z_{o})\cdot z$ und ${\widehat {f}}(z):=f'(z_{o})$ als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder ${\widehat {G}}:=D_{\delta }(z_{0})$ verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für $f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z$ mit:

f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z=f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z=\int _{[z,w]}f'(z_{0})\,d\xi

Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen:

{\big (}f(w)-f(z){\big )}-{\big (}f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z{\big )}=\int _{[z,w]}(f'(\xi )-f'(z_{0}))\,d\xi

Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2

{\begin{array}{rcl}g(w,z)-g(z_{0},z_{0})&=&\underbrace {\frac {f(w)-f(z)}{w-z}} _{=g(w,z)}-\underbrace {f'(z_{0})} _{=g(z_{0},z_{0})}\\&=&{\frac {{\big (}f(w)-f(z){\big )}-{\big (}f'(z_{0})\cdot w-f'(z_{0})\cdot z{\big )}}{w-z}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{w-z}}\int _{[z,w]}(f'(\xi )-f'(z_{0}))\,d\xi \end{array}}

Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die Stetigkeit der Ableitung $f'$ in $z_{0}$ nutzen.

Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Die Stetigkeit einer holomorphen Funktion $f'$ wird nun über das $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium wird auf die Stelle $z_{o}$ genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem $\epsilon >0$ also $\delta _{o}>0$ so wählen, dass

|f'(\xi )-f'(z_{0})|<\epsilon

für alle $\xi \in U_{\delta _{o}}(z_{0})$ erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei $\delta _{o}\leq \delta$ .

Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden

Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man:

{\begin{array}{rcl}|g(w,z)-g(z_{0},z_{0})|&=&\displaystyle \left|{\frac {1}{w-z}}\cdot \int _{[z,w]}(f'(\xi )-f'(z_{0}))\,d\xi \,\,\right|\\&\leq &\underbrace {{\frac {1}{|w-z|}}\cdot |w-z|} _{=1}\cdot \sup \limits _{w\in [w,z]}|f'(v)-f'(z_{0})|<\epsilon \end{array}}

Dabei wurden Ungleichungen und $|w-z|$ entsteht als Länge des Integration $[w,z]$ als Konvexkombination.

Beweis 3 - Integral über Zyklus

Man definiert nun eine Funktion $h_{0}$ , die das Wegintegral über die Funktion $g$ definiert, wobei man $z$ fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von $g$ verwendet.

h_{0}(z)=\int _{\Gamma }g(w,z)dw.

$h_{0}$ ist eine auf ganz $G$ stetige Funktion; wir zeigen, dass sie sogar holomorph ist. Dazu verwenden wir den Satz von Morera.

Beweis 5

Es sei also $\gamma$ der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in $G$ liegt, wir müssen

\int _{\gamma }h_{0}(z)dz=0

nachweisen. Es ist

\int _{\gamma }h_{0}(z)dz=\int _{\gamma }\int _{\Gamma }g(w,z)dw\,dz=\int _{\Gamma }\int _{\gamma }g(w,z)dz\,dw

da wegen der Stetigkeit des Integranden auf $G\times G$ die Integrationen vertauschbar sind. Für festes $w$ ist die Funktion $g(w,z)$ in der Variable $z$ stetig und holomorph für $w\neq z$ , also überhaupt holomorph.

Beweis 6

Nach dem Satz von Goursat folgt

\int _{\gamma }g(w,z)dz=0.

Damit ist natürlich auch

\int _{\gamma }h_{0}(z)dz=\int _{\Gamma }\int _{\gamma }g(w,z)dz\,dw=0.

Bisher haben wir die Voraussetzungen über $\Gamma$ noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei

G_{0}=\{z\in \mathbb {C} :n(\Gamma ,z)=0\}

.

Beweis 7

Da auf $G\cap G_{0}$ die Funktion $h_{0}$ sich einfacher schreibt, nämlich

h_{0}(z)=\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw=h_{1}(z),

da die Funktion $h_{1}$ aber offenbar auf ganz $G_{0}$ holomorph ist, können wir $h_{0}$ durch

h(z)=\left\{{\begin{array}{ll}h_{0}(z)&z\in G\\h_{1}(z)&z\in G_{0}\end{array}}\right.

zu einer auf ganz $G\cup G_{0}$ erklärten holomorphen Funktion $h$ fortsetzen. Nun ist $\Gamma$ nullhomolog in $G$ und damit

G\cup G_{0}=\mathbb {C} ,

d.h. $h$ ist eine ganze Funktion.

Beweis 8

Für $h$ haben wir auf $G_{0}$ die Bezeichnung

|h(z)|=|h_{1}(z)|\leq {\frac {1}{dist(z,\Gamma )}}L(\Gamma )\max _{\Gamma }|f|\;\;\;(*);

dabei ist $L(\Gamma )=\sum |n_{k}|L(\gamma _{k})$ , wenn $\Gamma =n_{k}\cdot \gamma _{k}$ ist.

Beweis 9

$G_{0}$ enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um $0$ . Dort gilt also die obige Ungleichung für alle $z$ : es folgt, dass $h$ beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant ist. Wählt man eien Folge $z_{\nu }\in G_{0}$ mit $|z_{\nu }|\geq \nu$ , so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*)

\lim \limits _{\nu \to \infty }(z_{\nu })=0,

insgesamt also $h\equiv 0$ , insbesondere $h_{0}\equiv 0$ ; das wollten wir zeigen.

Folgerungen

Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in $z$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten

Folgerungen für Kreisscheiben

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $D$ eine Kreisscheibe mit ${\bar {D}}\subseteq G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und für jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt

f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw

für jedes $z\in D$ .

Für Zyklen

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $\Gamma \in C(G)$ ein nullhomologer Zyklus und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

n(\Gamma ,z)\cdot f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw

für jedes $z\in G\setminus \mathrm {spur} (\Gamma )$ und jedes $n\in \mathbb {N}$ .

Analytizität

Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist:

Aussage - Analytizität

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Sei $z_{0}\in G$ und $r>0$ so, dass ${\bar {B}}_{r}(z_{0})\subseteq G$ gilt. Dann ist $f$ auf $B_{r}(z_{0})$ durch eine konvergente Potenzreihe