Integralformel von Cauchy

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Einführung[Bearbeiten]

Die Cauchysche Integralformel ist neben dem Integralsatz von Cauchy eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für nullhomologe Zyklen. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen.

Für Kreisschreiben[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Es sei eine offene Menge, eine Kreisscheibe mit und holomorph. Dann gilt

für jedes .

Beweis 1[Bearbeiten]

Durch leichte Vergrößerung des Radius der Kreisscheibe finden wir eine offene Kreisscheibe mit . Definiere durch

Beweis 2[Bearbeiten]

Dann ist stetig auf und auf holomorph. Also dürfen wir den Integralsatz von Cauchy auf anwenden und erhalten

Für setze . Dann ist holomorph mit

Beweis 3[Bearbeiten]

Da der Integrand eine Stammfunktion in hat, gilt

Beweis 4[Bearbeiten]

Da auf ganz so gilt, muss konstant sein. Damit folgt, dass stets den gleichen Wert besitzt, wie im am Mittelpunkt der Kreisscheibe , d.h. gleich ist. Damit ist

Das war die Behauptung.

Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Es sei eine offene Menge, ein nullhomologer Zyklus in und holomorph. Dann gilt

für jedes , dabei bezeichnet die Umlaufzahl.

Beweis 1[Bearbeiten]

Definiere eine Funktion durch

definiert.

Beweis 2: g stetig[Bearbeiten]

Wir zeigen die Stetigkeit in beiden Variablen. Ist mit , so wird in der Nähe von durch die obige Formel gegeben und ist trivialerweise stetig. Es sei . Wir wählen eine -Umgebung und untersuchen auf

a) im Fall :

Beweis 3[Bearbeiten]

b) im Fall :

Nun ist - als Folge der Cauchyschen Formeln für Kreise! - die Ableitung stetig in . Zu gegebenem können wir also so wählen, dass

für alle wird.

Beweis 4[Bearbeiten]

Damit folgt im Fall a):

im Fall b)

Wir setzen nun

ist eine auf ganz stetige Funktion; wir zeigen, dass sie sogar holomorph ist. Dazu verwenden wir den Satz von Morera.

Beweis 5[Bearbeiten]

Es sei also der orienteirte Rand eines Dreiecks, das ganz in liegt, wir müssen

nachweisen. Es ist

da wegen der Stetigkeit des Integranden auf die Integrationen vertauschbar sind. Für festes ist die Funktion in der Variable stetig und holomorph für , also überhaupt holomorph.

Beweis 6[Bearbeiten]

Nach dem Satz von Goursat folgt

Damit ist natürlich auch

Bisher haben wir die Voraussetzungen über noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei

.

Beweis 7[Bearbeiten]

Da auf die Funktion sich einfacher schreibt, nämlich

da die Funktion aber offenbar auf ganz holomorph ist, können wir durch

zu einer auf ganz erklärten holomorphen Funktion fortsetzen. Nun ist nullhomolog in und damit

d.h. ist eine ganze Funktion.

Beweis 8[Bearbeiten]

Für haben wir auf die Bezeichnung

dabei ist , wenn ist.

enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um . Dort gilt also die obige Ungleichung für alle : es folgt, dass beschränkt, also nach dme Satz von Liouville konstant ist. Wählt man eien Folge mit , so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*)

insgesamt also , insbesondere ; das wollten wir zeigen.

Folgerungen[Bearbeiten]

Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten

Folgerungen für Kreisscheiben[Bearbeiten]

Es sei eine offene Menge, eine Kreisscheibe mit und holomorph. Dann ist unendlich oft differenzierbar und für jedes gilt

für jedes .

Für Zyklen[Bearbeiten]

Es sei eine offene Menge, ein nullhomologer Zyklus und holomorph. Dann gilt

für jedes und jedes .

Analytizität[Bearbeiten]

Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist:

Aussage[Bearbeiten]

Sei offen und holomorph. Sei und so, dass gilt. Dann ist auf durch eine konvergente Potenzreihe

darstellbar und die Koeffizienten sind durch

gegeben.

Beweis 1[Bearbeiten]

Für , haben wir:

Beweis 2[Bearbeiten]

Die Reihe konvergiert wegen absolut und wir erhalten

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiten-Information[Bearbeiten]

Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionentheorie erstellt.