Integralformel von Cauchy

Einführung

Die Cauchysche Integralformel ist neben dem Integralsatz von Cauchy eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für nullhomologe Zyklen. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen.

Für Kreisschreiben

Aussage

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $D$ eine Kreisscheibe mit ${\bar {D}}\subseteq G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

für jedes $z\in D$ .

Beweis 1

Durch leichte Vergrößerung des Radius der Kreisscheibe finden wir eine offene Kreisscheibe $U$ mit ${\bar {D}}\subseteq U\subseteq G$ . Definiere $g\colon U\to \mathbb {C}$ durch

g(w):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}&w\neq z\\f'(z)&w=z\end{array}}\right.

Beweis 2

Dann ist $g$ stetig auf $U$ und auf $U-\{z\}$ holomorph. Also dürfen wir den Integralsatz von Cauchy auf $U$ anwenden und erhalten

0=\int _{\partial D}g(w)\,dw=\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-f(z)\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}

Für $z\in D$ setze $h(z):=\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}$ . Dann ist $h$ holomorph mit

h'(z)=-\int _{\partial D}{\frac {dw}{(w-z)^{2}}}

Beweis 3

Da der Integrand ${\frac {dw}{(w-z)^{2}}}$ eine Stammfunktion in $D$ hat, gilt

h'(z)=-\int _{\partial D}{\frac {dw}{(w-z)^{2}}}=0

Beweis 4

Da $h'(z)=0$ auf ganz so $D$ gilt, muss $h$ konstant sein. Damit folgt, dass $h(z)$ stets den gleichen Wert besitzt, wie im am Mittelpunkt $h(z_{0})$ der Kreisscheibe $D$ , d.h. gleich $h(z_{o})=2\pi i$ ist. Damit ist

0=\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-f(z)\int _{\partial D}{\frac {dw}{w-z}}\iff f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

Das war die Behauptung.

Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen

Aussage

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus in $G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

n(\Gamma ,z)\cdot f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw

für jedes $z\in G\setminus \mathrm {spur} (\Gamma )$ , dabei bezeichnet $n(\Gamma ,\cdot )$ die Umlaufzahl.

Beweis 1

Definiere eine Funktion $g\colon G^{2}\to \mathbb {C}$ durch

g(z,w):=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}&w\neq z\\f'(z)&w=z\end{array}}\right.

definiert.

Beweis 2: g stetig

Wir zeigen die Stetigkeit in beiden Variablen. Ist $(w_{0},z_{0})\in U\times U$ mit $z_{0}\neq w_{0}$ , so wird $g$ in der Nähe von $(w_{0},z_{0})$ durch die obige Formel gegeben und ist trivialerweise stetig. Es sei $z_{0}=w_{0}$ . Wir wählen eine $\delta$ -Umgebung $U_{\delta }(z_{0})\subset \subset G$ und untersuchen $g(w,z)-g(z_{0},z_{0})$ auf $U_{\delta }(z_{0})\times U_{\delta }(z_{0})$

a) im Fall $w=z$ :

g(z,z)-g(z_{0},z_{0})=f'(z)-f'(z_{0})

Beweis 3

b) im Fall $w\neq z$ :

g(w,z)-g(z_{0},z_{0})={\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}-f'(z_{0})={\frac {1}{w-z}}\int _{[z,w]}(f'(v)-f'(z_{0}))dv

Nun ist - als Folge der Cauchyschen Formeln für Kreise! - die Ableitung $f'$ stetig in $z_{0}$ . Zu gegebenem $\epsilon >0$ können wir also $\delta >0$ so wählen, dass

|f'(v)-f'(z_{0})|<\epsilon

für alle $v\in U_{\delta }(z_{0})$ wird.

Beweis 4

Damit folgt im Fall a):

|g(z,z)-g(z_{0},z_{0})|<\epsilon ;

im Fall b)

|g(w,z)-g(z_{0},z_{0})|\leq {\frac {1}{|w-z|}}|w-z|\cdot \sup \limits _{w\in [w,z]}|f'(v)-f'(z_{0})|<\epsilon .

Wir setzen nun

h_{0}(z)=\int _{\Gamma }g(w,z)dw.

$h_{0}$ ist eine auf ganz $G$ stetige Funktion; wir zeigen, dass sie sogar holomorph ist. Dazu verwenden wir den Satz von Morera.

Beweis 5

Es sei also $\gamma$ der orienteirte Rand eines Dreiecks, das ganz in $G$ liegt, wir müssen

\int _{\gamma }h_{0}(z)dz=0

nachweisen. Es ist

\int _{\gamma }h_{0}(z)dz=\int _{\gamma }\int _{\Gamma }g(w,z)dw\,dz=\int _{\Gamma }\int _{\gamma }g(w,z)dz\,dw

da wegen der Stetigkeit des Integranden auf $G\times G$ die Integrationen vertauschbar sind. Für festes $w$ ist die Funktion $g(w,z)$ in der Variable $z$ stetig und holomorph für $w\neq z$ , also überhaupt holomorph.

Beweis 6

Nach dem Satz von Goursat folgt

\int _{\gamma }g(w,z)dz=0.

Damit ist natürlich auch

\int _{\gamma }h_{0}(z)dz=\int _{\Gamma }\int _{\gamma }g(w,z)dz\,dw=0.

Bisher haben wir die Voraussetzungen über $\Gamma$ noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei

G_{0}=\{z\in \mathbb {C} :n(\Gamma ,z)=0\}

.

Beweis 7

Da auf $G\cap G_{0}$ die Funktion $h_{0}$ sich einfacher schreibt, nämlich

h_{0}(z)=\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw=h_{1}(z),

da die Funktion $h_{1}$ aber offenbar auf ganz $G_{0}$ holomorph ist, können wir $h_{0}$ durch

h(z)=\left\{{\begin{array}{ll}h_{0}(z)&z\in G\\h_{1}(z)&z\in G_{0}\end{array}}\right.

zu einer auf ganz $G\cup G_{0}$ erklärten holomorphen Funktion $h$ fortsetzen. Nun ist $\Gamma$ nullhomolog in $G$ und damit

G\cup G_{0}=\mathbb {C} ,

d.h. $h$ ist eine ganze Funktion.

Beweis 8

Für $h$ haben wir auf $G_{0}$ die Bezeichnung

|h(z)|=|h_{1}(z)|\leq {\frac {1}{dist(z,\Gamma )}}L(\Gamma )\max _{\Gamma }|f|\;\;\;(*);

dabei ist $L(\Gamma )=\sum |n_{k}|L(\gamma _{k})$ , wenn $\Gamma =n_{k}\cdot \gamma _{k}$ ist.

$G_{0}$ enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um $0$ . Dort gilt also die obige Ungleichung für alle $z$ : es folgt, dass $h$ beschränkt, also nach dme Satz von Liouville konstant ist. Wählt man eien Folge $z_{\nu }\in G_{0}$ mit $|z_{\nu }|\geq \nu$ , so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*)

\lim \limits _{\nu \to \infty }(z_{\nu })=0,

insgesamt also $h\equiv 0$ , insbesondere $h_{0}\equiv 0$ ; das wollten wir zeigen.

Folgerungen

Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in $z$ unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten

Folgerungen für Kreisscheiben

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $D$ eine Kreisscheibe mit ${\bar {D}}\subseteq G$ und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann ist $f$ unendlich oft differenzierbar und für jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt

f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw

für jedes $z\in D$ .

Für Zyklen

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge, $\Gamma \in C(G)$ ein nullhomologer Zyklus und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann gilt

n(\Gamma ,z)\cdot f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{n+1}}}\,dw

für jedes $z\in G\setminus \mathrm {spur} (\Gamma )$ und jedes $n\in \mathbb {N}$ .

Analytizität

Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist:

Aussage

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph. Sei $z_{0}\in G$ und $r>0$ so, dass ${\bar {B}}_{r}(z_{0})\subseteq G$ gilt. Dann ist $f$ auf $B_{r}(z_{0})$ durch eine konvergente Potenzreihe