Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue

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Aussage[Bearbeiten]

Es sei ein Gebiet und eine holomorphe, nicht konstante Funktion. Dann ist ein Gebiet.

Beweis[Bearbeiten]

Bei Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass ein Gebiet ist, d.h. die Menge

  • ist zusammenhängend und
  • offen.

Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile.

Beweis 1: zusammenhängend[Bearbeiten]

Wir zeigen, dass aus stetig und zusammenhängend folgt, dass auch zusammenhängend ist.

Beweis 2: zusammenhängend[Bearbeiten]

Seien beliebig gewählt. Dann gibt mit und . Da zusammenhängend ist, gibt es ein Weg mit und .

Beweis 3: zusammenhängend[Bearbeiten]

Weil stetig ist und ein stetig Weg in ist, so ist auch ein stetiger Weg in , für den gilt:

und

Beweis 4: offen[Bearbeiten]

Es bleibt zu zeigen, dass offen ist, sei dazu und mit . Wir betrachten nun die Menge der -Stellen

Beweis 5: offen - Identitätssatz[Bearbeiten]

Nach dem Identitätssatz kann die Menge keine Häufungspunkte in haben. Hätte eine Häufungspunkte in , dann wäre die holomorphe Funktion konstant mit für alle .

Beweis 6: offen - Umgebungen[Bearbeiten]

Wenn die Menge der -Stellen von keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung von so wählen, in der die einzige -Stelle ist. Sei so gewählt, dass gilt.

Beweis 7: offen[Bearbeiten]

Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von zu , wobei auf dem Kreisrand von liegt.

Dabei ist , weil stetig ist und auf der kompakten Menge ein Minimum annimmt. Mit kann auf dem Rand keine -Stellen liegen.

Beweis 8: offen - Maximumsprinzip[Bearbeiten]

Wir zeigen, dass gilt. Sei dazu . Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige als Bild von getroffen wird.

Beweis 9: offen - Maximumsprinzip[Bearbeiten]

Angenommen, es wäre für alle . Dann nimmt mit auf ein von Null verschiedenes Minimum an. Da nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf liegen (sonst ist nach dem Maximumprinzip konstant. Wenn konstant ist, müsste dann auch konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung).

Beweis 9: offen[Bearbeiten]

Da beliebig gewählt wurde und für jedes eine -Umgebung erhalten, die in ist als Vereinigung von offenen Mengen wieder offen.

Siehe auch[Bearbeiten]

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