Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue

Aussage

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet und $f\colon U\to \mathbb {C}$ eine holomorphe, nicht konstante Funktion. Dann ist $f(U)$ ein Gebiet.

Beweis

Bei Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass $f(U)$ ein Gebiet ist, d.h. die Menge $f(U)$

• ist zusammenhängend und
• offen.

Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile.

Beweis 1: zusammenhängend

Wir zeigen, dass aus $f$ stetig und $U$ zusammenhängend folgt, dass auch $f(U)$ zusammenhängend ist.

Beweis 2: zusammenhängend

Seien $w_{1},w_{2}\in f(U)$ beliebig gewählt. Dann gibt $z_{1},z_{2}\in U$ mit $f(z_{1})=w_{1}$ und $f(z_{2})=w_{2}$. Da $U$ zusammenhängend ist, gibt es ein Weg $\gamma :[a,b]\to U$ mit $\gamma (a)=z_{1}$ und $\gamma (b)=z_{2}$.

Beweis 3: zusammenhängend

Weil $f$ stetig ist und $\gamma :[a,b]\to U$ ein stetig Weg in $U$ ist, so ist auch$\gamma _{f}:=f\circ \gamma$ ein stetiger Weg in $f(U)$, für den gilt:

$\gamma _{f}(a)=f(\gamma (a))=f(z_{1})=w_{1}$ und $\gamma _{f}(b)=f(\gamma (b))=f(z_{2})=w_{2}$

Beweis 4: offen

Es bleibt zu zeigen, dass $f(U)$ offen ist, sei dazu $w_{0}\in f(U)$ und $z_{0}\in U$ mit $f(z_{0})=w_{0}$. Wir betrachten nun die Menge der $w_{0}$-Stellen

$S(f,w_{0}):=\{z\in U\ |\ {}f(z)=w_{0}\}$

Beweis 5: offen - Identitätssatz

Nach dem Identitätssatz kann die Menge $S(f,w_{0}):=\{z\in U\ |\ {}f(z)=w_{0}\}$ keine Häufungspunkte in $f(U)$ haben. Hätte eine $S(f,w_{0})\subseteq f(U)$ Häufungspunkte in $f(U)$, dann wäre die holomorphe Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ konstant mit $f(z)=w_{0}$ für alle $z\in U$.

Beweis 6: offen - Umgebungen

Wenn die Menge $S(f,w_{0})$ der $w_{0}$-Stellen von $f$ keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung $V\subseteq U$ von $z_{0}$ so wählen, in der $z_{0}$ die einzige $w_{0}$-Stelle ist. Sei $r>0$ so gewählt, dass ${\bar {D}}_{r}(z_{0})\subseteq V$ gilt.

Beweis 7: offen

Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von $f(z)$ zu $w_{0}$, wobei $z$ auf dem Kreisrand von $D_{r}(z_{0})$ liegt.

$\varepsilon :=\inf _{z\in \partial D_{r}(z_{0})}|f(z)-w_{0}|>0$

Dabei ist $\varepsilon >0$, weil $f$ stetig ist und auf der kompakten Menge $\partial D_{r}(z_{0})$ ein Minimum annimmt. Mit ${\bar {D}}_{r}(z_{0})\subseteq V$ kann auf dem Rand keine $w_{0}$-Stellen liegen.

Beweis 8: offen - Maximumsprinzip

Wir zeigen, dass $D_{\frac {\varepsilon }{3}}(w_{0})\subseteq f(U)$ gilt. Sei dazu $|w-w_{0}|<{\frac {\varepsilon }{3}}$. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige $w\in D_{\frac {\varepsilon }{3}}(w_{0})$ als Bild von $f$ getroffen wird.

Beweis 9: offen - Maximumsprinzip

Angenommen, es wäre $f(z)\neq w$ für alle $z\in {\bar {D}}_{r}(z_{0})$. Dann nimmt $|g|$ mit $g(z):=f(z)-w$ auf ${\overline {D_{r}(z_{0})}}$ ein von Null verschiedenes Minimum an. Da $f$ nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf $\partial D_{r}(z_{0})$ liegen (sonst ist $h(z):={\frac {1}{f(z)-w}}$ nach dem Maximumprinzip konstant. Wenn $h$ konstant ist, müsste dann auch $f$ konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung).

Beweis 9: offen

Da $w_{0}\in f(U)$ beliebig gewählt wurde und für jedes $w_{0}\in f(U)$ eine ${\frac {\epsilon }{3}}$-Umgebung $D_{\frac {\epsilon }{3}}(w_{0})\subseteq f(U)$ erhalten, die in $f(U)$ ist $f(U)=\bigcup _{w_{0}\in f(U)}D_{\frac {\epsilon }{3}}(w_{0})$ als Vereinigung von offenen Mengen wieder offen.

Siehe auch

• Normen, Metriken, Topologie

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