Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral

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Das komplexe Kurvenintegral ist die Funktionentheoretische Verallgemeinerung des Integrals aus der reellen Analysis. Als Integrationsgebiet tritt eine rektifizierbare Kurve an die Stelle des Intervalls. Integriert wird über komplexwertige anstelle reellwertiger Funktionen.

Definition[Bearbeiten]

Sei eine rektifizierbare Kurve, eine Abbildung. heißt über integrierbar, wenn es eine Zahl gibt, so dass zu jedem ein existiert, so dass für jede Zerlegung des Intervalls mit für alle

gilt.

Die Zahl heißt Integral von über und wird mit bezeichnet.

Integration über Ketten[Bearbeiten]

Ist eine Kette in , so heißt eine Funktion über integrierbar, wenn sie über jedes integrierbar ist und wir setzen

Zusammenhang zur relllen Integration[Bearbeiten]

Ist sogar stückweise differenzierbar, so kann das Kurvenintegral mithilfe des Mittelwertsatzes auf eine Integral über den Parameterbereich zurückgeführt werden, wir haben in diesem Fall

wobei eine komplexwertige Funktion über ein reelles Interval integriert wird, in dem Real- und Imaginärteil getrennt voneinander berechnet werden.

Beispiele[Bearbeiten]

  1. Wir betrachten die Kurve , , und die Funktion . Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir
  2. Wir modifizieren unser erstes Beispiel etwas und betrachten die Kurve , , und die Funktion für . Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir
    Beide Beispiele zusammen ergeben also
    Diese Tatsache spielt eine wichtige Rolle bei der Definition des Residuums.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Unabhängigkeit von der Parametrisierung[Bearbeiten]

Es sei ein stückweiser -Weg, ein orientierungserhaltender -Diffeomorphismus. Dann ist ein stückweiser -Weg und es gilt

d. h. der Wert des Integrals ist von der konkret gewählten Parametrisierung des Weges unabhängig.

Beweis[Bearbeiten]

Es ist

Linearität[Bearbeiten]

Da das Integral über in lineare Summen definiert ist, ist es selbst linear im Integranden, d. h. es gilt

für rektifizierbares , und integrierbare .

Orientierungsumkehrung[Bearbeiten]

Es sei ein rektifizierbarer Weg, der umgekehrt durchlaufene Weg sei definiert durch . Dann ist für integrierbare

Beweis[Bearbeiten]

Es ist

Approximation durch Streckenzüge[Bearbeiten]

Die hier vorgestellte Version des Integrationsweges wirkt sehr allgemein, allerdings sind die meisten in der Praxis auftretenden Integrationswege stückweise stetig differenzierbar. Da sich mit stückweise stetig differenzierbaren Wegen einfacher arbeiten lässt, wollen wir im folgenden noch zeigen, wie sich ein beliebiger Integrationsweg für stetige Integranden durch Streckenzüge approximieren lässt. Dies kann man benutzen, um Aussagen über allgemeine rektifizierbare Wege auf Streckenzüge zurückzuführen.

Aussage[Bearbeiten]

Es sei ein Gebiet, ein rektifizierbarer Weg, stetig und . Dann gibt es einen Streckenzug mit , und .

Beweis[Bearbeiten]

Sei zunächst eine Kreisscheibe. Da kompakt ist, gibt es ein mit . Auf ist gleichmäßig stetig, also können wir ein wählen, so dass für mit gilt. Wähle nun nach Definition des Integrals eine Unterteilung von , so dass für und

gilt. Definere durch

Also ist der Streckenzug, der die Punkte durch Strecken verbindet. Insbesondere verläuft in . Nach Konstruktion ist weiterhin für . Es folgt

Damit folgt die Behauptung.

Ist keine Kreisscheibe, überdeckenwir - wegen der Kompaktheit von ist das möglich - mit endlich vielen Kreisscheiben, die in liegen, und wenden auf jeden Teilweg die obige Konstruktion an. Damit folgt die Behauptung auch im allgemeinen Fall.