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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 12/latex

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\setcounter{section}{12}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zu den folgenden \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}

a)
\mathl{xdx +ydy}{,}

b)
\mathl{xdx -ydy}{,}

c)
\mathl{ydx +xdy}{,}

d)
\mathl{ydx -xdy}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Wegintegral
\mathl{\int_\gamma \omega}{} zu \maabbeledisp {\gamma} {[-1,0]} {\R^3 } {t} {(-t^2,t^3-1,t+2) } {,} für die $1$-Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { x^3dx -yzdy +xz^2 dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} $\int_\gamma \omega$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ { \left( z^3 -2z \right) } dz }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ = }{ t^2-t^3 { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem Intervall
\mathl{[-1,1]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} $\int_\gamma \omega$ zur ${\mathbb C}$-wertigen \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \left( x+3 xy -y^2 \right) } dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf ${\mathbb C}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ x + { \mathrm i} y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ = }{ t-3t^2-t^2 { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem Intervall
\mathl{[-1,4]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} $\int_\gamma \omega$ zur ${\mathbb C}$-wertigen \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \left( x^2 -y { \mathrm i} \right) } dx + { \left( 3 xy -x^2y { \mathrm i} \right) } dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf ${\mathbb C}$ zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ = }{ 1 +t^2 +t^3 + { \left( t^2-5t^3 \right) } { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem Intervall
\mathl{[-2,3]}{.}

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} $\int_\gamma \omega$ zur ${\mathbb C}$-wertigen \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \left( z \overline{ z } \right) } d z + { \left( z-\overline{ z } \right) } d \overline{ z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf ${\mathbb C}$ zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ = }{ 3 +t - t^2 { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem Intervall
\mathl{[0,4]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und seien $\omega , \tau$ stetige \definitionsverweis {Differentialformen}{}{} auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U } {} eine \zusatzklammer {stückweise} {} {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s }
{ \in }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma r\omega+s \tau }
{ =} { r \int_\gamma \omega + s \int_\gamma \tau }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{- \gamma} \omega }
{ =} {- \int_\gamma \omega }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $- \gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet. }{Wenn \maabbdisp {\delta} {[b,c]} {U } {} ein weiterer \zusatzklammer {stückweise} {} {} stetig differenzierbarer Weg mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta(b) }
{ = }{ \gamma(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\gamma * \delta} \omega }
{ =} { \int_\gamma \omega + \int_\delta \omega }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{\gamma * \delta}{} den aneinander gelegten Weg bezeichnet. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei $\omega$ eine stetige \definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
\mathl{z_1 , \ldots , z_m}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $W$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { \sum_{j = 1}^m \omega_j z_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Darstellung von $\omega$ mit ${\mathbb K}$-wertigen Differentialformen $\omega_j$ auf $U$. Es sei \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U } {} eine \zusatzklammer {stückweise} {} {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega }
{ =} { \sum_{j = 1}^m z_j \int_\gamma \omega_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen \maabbeledisp {\gamma} {[1,2]} {\R^2 } {t} {(t,t^{-1}) } {,} und \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } {(u,v)} {(u^2,uv,-u+v^2) } {,} und die Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { xdx-zdy+dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} auf dem $\R^2$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} zum Weg $\gamma$.

c) Berechne \zusatzklammer {ohne Bezug auf b)} {} {} das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\omega}{} zum Weg $\varphi \circ \gamma$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen \maabbeledisp {\gamma} {[1,c]} {\R^2 } {t} {(t,t^{3}) } {,} \zusatzklammer {mit \mathlk{c \geq 1}{}} {} {} und \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+ } {\R^3 } {(u,v)} {(u^3,u^2+v^2,u^{-1}v^{-1} ) } {,} und die Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { (x-y)dx-z^2dy+dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} auf dem $\R_+ \times \R_+$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} zum Weg $\gamma$ in Abhängigkeit von $c$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $V, W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {normierte}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $U$. Es sei \maabb {\gamma} {[a,b] } { U } {} ein \definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{} und sei $B$ eine obere Schranke für
\mathl{\Vert {\omega (P)} \Vert_{\text{max} }}{} auf
\mathl{\gamma([a,b])}{.} Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \int_\gamma \omega} \Vert }
{ \leq} { B \cdot L(\gamma) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^n$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei \maabb {F} {U} { \R^n } {} ein \definitionsverweis {stetiges}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir definieren zu dem Vektorfeld eine \definitionsverweis {Differentialform}{}{} $\omega$ auf $U$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega(P,v) }
{ \defeq} { \left\langle F(P) , v \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass zu einem \definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{} \maabb {\gamma} {I} { U } {} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega }
{ =} { \int_\gamma F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne Beispiel 12.5 mit Hilfe von Satz 12.11.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} $z dz$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {} {[0,1]} { {\mathbb C} } {t} { { \left( 3+ { \mathrm i} \right) } t } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} $z^2 dz$ auf ${\mathbb C}$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {\gamma} {[-1 , 0]} { {\mathbb C} } {t} { 2 t^2- { \mathrm i} t } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} ${ \frac{ 1 }{ z^2 } } dz$ auf ${\mathbb C} \setminus \{0\}$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {\gamma} {[0 , \pi]} { {\mathbb C} } {t} { \cos t + { \mathrm i} \sin t } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{.} Zeige, dass $U$ genau dann \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist, wenn man je zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch einen \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{} verbinden kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte zu
\mathl{r,s \in \R_+}{} mit
\mathl{r+s > 1}{} und
\mathl{s < r+1}{} die \anfuehrung{sichelförmige}{} Menge
\mathdisp {M_{r,s} = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq r , \, \sqrt{(x-1)^2+y^2} \geq s \right\} }} { . }
Für welche $r,s$ ist diese Menge \definitionsverweis {sternförmig}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_k}{} \zusatzklammer {\mathlk{k \geq 1}{}} {} {} endlich viele Punkte im $\R^n$. Zeige, dass
\mathl{\R^n \setminus \{P_1 , \ldots , P_k \}}{} nicht \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {offene}{}{,} \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^2}{} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Vereinigung von zwei \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {Kreisscheiben}{}{} \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist. }{Es sei $S$ eine Kreisscheibe und sei $T$ eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von $S$ liegt. Ist die Vereinigung
\mathl{S \cup T}{} sternförmig bezüglich des Zentrums von $T$? }{Es sei $S$ eine Kreisscheibe und sei $T$ eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von $S$ liegt. Ist die Vereinigung
\mathl{S \cup T}{} sternförmig bezüglich des Zentrums von $S$? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für zwei \definitionsverweis {sternförmige Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass ihr Durchschnitt $S \cap T$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} \zusatzklammer {insbesondere nicht leer} {} {} und nicht sternförmig ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{} \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Menge und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge aller Punkte, bezüglich der $S$ sternförmig ist. Zeige, dass $Z$ abgeschlossen ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {sternförmige}{}{} Teilmenge. Zeige, dass auch der \definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ T }}{} sternförmig ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} \aufzaehlungzwei {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und sei \maabb {\omega} { U} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) } } {} eine \definitionsverweis {exakte}{}{} \definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $U$. Zeige, dass die Stammform zu $\omega$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist. } {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offene \definitionsverweis {sternförmige Mengen}{}{} mit der Eigenschaft, dass $S \cap T$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist. Es sei \maabbdisp {\omega} {S \cup T} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) } } {} eine stetig differenzierbare \definitionsverweis {geschlossene}{}{} Differentialform. Zeige, dass $\omega$ exakt ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_{\leq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die komplexe Zahlenebene ohne die nichtpositive reelle Achse. Bestimme eine Stammform auf $U$ zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ dz }{ z } }}{} mit der im Beweis zu Satz 12.16 beschriebenen Methode \zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als Startpunkt} {} {.}

}
{} {}

Für den Logarithmus gilt nach Aufgabe 8.43 im Entwicklungspunkt $1$ die Potenzreihenbeschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln \left( z \right) }
{ =} { \sum_{k = 1}^\infty (-1)^{k+1} { \frac{ (z-1)^k }{ k } } }
{ =} { (z-1)- { \frac{ (z-1)^2 }{ 2 } } + { \frac{ (z-1)^3 }{ 3 } } - { \frac{ (z-1)^4 }{ 4 } } + \ldots }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Auf
\mathl{U { \left( 1,1 \right) }}{} stimmt diese Reihe mit der in der vorstehenden Aufgabe konstruierten Stammfunktion zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z } }}{} überein, da sie ja beide in $1$ den Wert $0$ haben. Sie stimmt auch mit der lokalen Umkehrreihe zur Exponentialfunktion überein.




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne $\int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }$, wobei $\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist \zusatzklammer {siehe Beispiel 12.6} {} {,} mit Stammformen zu ${ \frac{ dz }{ z } }$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_{\leq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d,r,s }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2 } {t} {(t^r,t^s) } {.} Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zur \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ x^ay^b dx +x^c y^d dy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^3 } {t} {( \cos t , \sin t, t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zur \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ (y-z^3) dx +x^2dy -xzdz }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} $\int_\gamma \omega$ zur ${\mathbb C}$-wertigen \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \left( z^2 \overline{ z } -3 z \overline{ z } \right) } d z + { \left( z^2 +z\overline{ z }^2 \right) } d \overline{ z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf ${\mathbb C}$ zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ = }{ -1 -4t +2t { \mathrm i} - 3 t^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem Intervall
\mathl{[-2,3]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} ${ \left( { \frac{ 4 }{ z^2 } } + 2 { \frac{ { \mathrm i} }{ z } } +3 + 2z^2-{ \mathrm i} z^3 \right) } dz$ auf ${\mathbb C} \setminus \{0\}$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {\gamma} {[0 , 2 \pi]} { {\mathbb C} } {t} { \cos t + { \mathrm i} \sin t } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne $\int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }$, wobei $\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene stückweise affin-lineare Weg auf dem Quadratrand zum Quadrat mit Mittelpunkt $0$ und Seitenlänge $2$ ist.

}
{} {}