Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zu den folgenden \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
a)
\mathl{xdx +ydy}{,}
b)
\mathl{xdx -ydy}{,}
c)
\mathl{ydx +xdy}{,}
d)
\mathl{ydx -xdy}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Wegintegral
\mathl{\int_\gamma \omega}{} zu
\maabbeledisp {\gamma} {[-1,0]} {\R^3
} {t} {(-t^2,t^3-1,t+2)
} {,}
für die $1$-Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { x^3dx -yzdy +xz^2 dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
$\int_\gamma \omega$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \left( z^3 -2z \right) } dz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ = }{ t^2-t^3 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem Intervall
\mathl{[-1,1]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
$\int_\gamma \omega$ zur ${\mathbb C}$-wertigen
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \left( x+3 xy -y^2 \right) } dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf ${\mathbb C}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ x + { \mathrm i} y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ = }{ t-3t^2-t^2 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem Intervall
\mathl{[-1,4]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
$\int_\gamma \omega$ zur ${\mathbb C}$-wertigen
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \left( x^2 -y { \mathrm i} \right) } dx + { \left( 3 xy -x^2y { \mathrm i} \right) } dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf ${\mathbb C}$ zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ = }{ 1 +t^2 +t^3 + { \left( t^2-5t^3 \right) } { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem Intervall
\mathl{[-2,3]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
$\int_\gamma \omega$ zur ${\mathbb C}$-wertigen
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \left( z \overline{ z } \right) } d z + { \left( z-\overline{ z } \right) } d \overline{ z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf ${\mathbb C}$ zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ = }{ 3 +t - t^2 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem Intervall
\mathl{[0,4]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und seien $\omega , \tau$ stetige
\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
eine
\zusatzklammer {stückweise} {} {}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma r\omega+s \tau
}
{ =} { r \int_\gamma \omega + s \int_\gamma \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{- \gamma} \omega
}
{ =} {- \int_\gamma \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $- \gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.
}{Wenn
\maabbdisp {\delta} {[b,c]} {U
} {}
ein weiterer
\zusatzklammer {stückweise} {} {}
stetig differenzierbarer Weg mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta(b)
}
{ = }{ \gamma(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\gamma * \delta} \omega
}
{ =} { \int_\gamma \omega + \int_\delta \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\gamma * \delta}{} den aneinander gelegten Weg bezeichnet.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine stetige
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
\mathl{z_1 , \ldots , z_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $W$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { \sum_{j = 1}^m \omega_j z_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Darstellung von $\omega$ mit ${\mathbb K}$-wertigen Differentialformen $\omega_j$ auf $U$. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
eine
\zusatzklammer {stückweise} {} {}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { \sum_{j = 1}^m z_j \int_\gamma \omega_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
\maabbeledisp {\gamma} {[1,2]} {\R^2
} {t} {(t,t^{-1})
} {,}
und
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^3
} {(u,v)} {(u^2,uv,-u+v^2)
} {,}
und die Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { xdx-zdy+dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^3$.
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} auf dem $\R^2$.
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} zum Weg $\gamma$.
c) Berechne
\zusatzklammer {ohne Bezug auf b)} {} {}
das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\omega}{} zum Weg $\varphi \circ \gamma$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen
\maabbeledisp {\gamma} {[1,c]} {\R^2
} {t} {(t,t^{3})
} {,}
\zusatzklammer {mit \mathlk{c \geq 1}{}} {} {}
und
\maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+ } {\R^3
} {(u,v)} {(u^3,u^2+v^2,u^{-1}v^{-1} )
} {,}
und die Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { (x-y)dx-z^2dy+dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^3$.
a) Berechne die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} auf dem $\R_+ \times \R_+$.
b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} zum Weg $\gamma$ in Abhängigkeit von $c$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {normierte}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige stetige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Es sei
\maabb {\gamma} {[a,b] } { U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
und sei $B$ eine obere Schranke für
\mathl{\Vert {\omega (P)} \Vert_{\text{max} }}{} auf
\mathl{\gamma([a,b])}{.} Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \int_\gamma \omega} \Vert
}
{ \leq} { B \cdot L(\gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^n$ sei mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
versehen. Es sei
\maabb {F} {U} { \R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir definieren zu dem Vektorfeld eine
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
$\omega$ auf $U$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega(P,v)
}
{ \defeq} { \left\langle F(P) , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass zu einem
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {I} { U
} {}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { \int_\gamma F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne Beispiel 12.5 mit Hilfe von Satz 12.11.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} $z dz$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {} {[0,1]} { {\mathbb C} } {t} { { \left( 3+ { \mathrm i} \right) } t } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} $z^2 dz$ auf ${\mathbb C}$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {\gamma} {[-1 , 0]} { {\mathbb C} } {t} { 2 t^2- { \mathrm i} t } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} ${ \frac{ 1 }{ z^2 } } dz$ auf ${\mathbb C} \setminus \{0\}$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {\gamma} {[0 , \pi]} { {\mathbb C} } {t} { \cos t + { \mathrm i} \sin t } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{.}
Zeige, dass $U$ genau dann
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, wenn man je zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch einen
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
verbinden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte zu
\mathl{r,s \in \R_+}{} mit
\mathl{r+s > 1}{} und
\mathl{s < r+1}{} die \anfuehrung{sichelförmige}{} Menge
\mathdisp {M_{r,s} = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq r , \, \sqrt{(x-1)^2+y^2} \geq s \right\} }} { . }
Für welche $r,s$ ist diese Menge
\definitionsverweis {sternförmig}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_k}{}
\zusatzklammer {\mathlk{k \geq 1}{}} {} {}
endlich viele Punkte im $\R^n$. Zeige, dass
\mathl{\R^n \setminus \{P_1 , \ldots , P_k \}}{} nicht
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {offene}{}{,}
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^2}{} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Vereinigung von zwei
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {Kreisscheiben}{}{}
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}{Es sei $S$ eine Kreisscheibe und sei $T$ eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von $S$ liegt. Ist die Vereinigung
\mathl{S \cup T}{} sternförmig bezüglich des Zentrums von $T$?
}{Es sei $S$ eine Kreisscheibe und sei $T$ eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von $S$ liegt. Ist die Vereinigung
\mathl{S \cup T}{} sternförmig bezüglich des Zentrums von $S$?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für zwei
\definitionsverweis {sternförmige Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass ihr Durchschnitt $S \cap T$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
\zusatzklammer {insbesondere nicht leer} {} {}
und nicht sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Menge und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge aller Punkte, bezüglich der $S$ sternförmig ist. Zeige, dass $Z$ abgeschlossen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge. Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ T }}{} sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und sei
\maabb {\omega} { U} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) }
} {}
eine
\definitionsverweis {exakte}{}{}
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Zeige, dass die Stammform zu $\omega$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
} {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offene
\definitionsverweis {sternförmige Mengen}{}{}
mit der Eigenschaft, dass $S \cap T$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist. Es sei
\maabbdisp {\omega} {S \cup T} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) }
} {}
eine stetig differenzierbare
\definitionsverweis {geschlossene}{}{}
Differentialform. Zeige, dass $\omega$ exakt ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_{\leq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die komplexe Zahlenebene ohne die nichtpositive reelle Achse. Bestimme eine Stammform auf $U$ zur
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ dz }{ z } }}{} mit der im Beweis zu
Satz 12.16
beschriebenen Methode
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Startpunkt} {} {.}
}
{} {}
Für den Logarithmus gilt nach
Aufgabe 8.43
im Entwicklungspunkt $1$ die Potenzreihenbeschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln \left( z \right)
}
{ =} { \sum_{k = 1}^\infty (-1)^{k+1} { \frac{ (z-1)^k }{ k } }
}
{ =} { (z-1)- { \frac{ (z-1)^2 }{ 2 } } + { \frac{ (z-1)^3 }{ 3 } } - { \frac{ (z-1)^4 }{ 4 } } + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Auf
\mathl{U { \left( 1,1 \right) }}{} stimmt diese Reihe mit der in der vorstehenden Aufgabe konstruierten Stammfunktion zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z } }}{} überein, da sie ja beide in $1$ den Wert $0$ haben. Sie stimmt auch mit der lokalen Umkehrreihe zur Exponentialfunktion überein.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne $\int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }$, wobei $\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist
\zusatzklammer {siehe
Beispiel 12.6} {} {,}
mit Stammformen zu ${ \frac{ dz }{ z } }$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_{\leq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d,r,s
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2
} {t} {(t^r,t^s)
} {.}
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zur
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ x^ay^b dx +x^c y^d dy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^3
} {t} {( \cos t , \sin t, t )
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zur
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ (y-z^3) dx +x^2dy -xzdz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
$\int_\gamma \omega$ zur ${\mathbb C}$-wertigen
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \left( z^2 \overline{ z } -3 z \overline{ z } \right) } d z + { \left( z^2 +z\overline{ z }^2 \right) } d \overline{ z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf ${\mathbb C}$ zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ = }{ -1 -4t +2t { \mathrm i} - 3 t^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem Intervall
\mathl{[-2,3]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} ${ \left( { \frac{ 4 }{ z^2 } } + 2 { \frac{ { \mathrm i} }{ z } } +3 + 2z^2-{ \mathrm i} z^3 \right) } dz$ auf ${\mathbb C} \setminus \{0\}$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {\gamma} {[0 , 2 \pi]} { {\mathbb C} } {t} { \cos t + { \mathrm i} \sin t } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne $\int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }$, wobei $\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene stückweise affin-lineare Weg auf dem Quadratrand zum Quadrat mit Mittelpunkt $0$ und Seitenlänge $2$ ist.
}
{} {}