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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 12

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Übungsaufgaben

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ,

b) ,

c) ,

d) .



Berechne das Wegintegral zu

für die -Differentialform

auf dem .



Berechne das Wegintegral zu zum Weg auf dem Intervall .



Berechne das Wegintegral zur -wertigen Differentialform

auf mit zum Weg auf dem Intervall .



Berechne das Wegintegral zur -wertigen Differentialform

auf zum Weg auf dem Intervall .




Berechne das Wegintegral zur -wertigen Differentialform

auf zum Weg auf dem Intervall .



Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und seien stetige Differentialformen auf mit Werten in . Es sei

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Für ist
  2. Es ist

    wobei den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

  3. Wenn

    ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ist, so ist

    wobei den aneinander gelegten Weg bezeichnet.



Es seien endlichdimensionale - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine stetige Differentialform auf mit Werten in . Es sei eine Basis von und es sei

die Darstellung von mit -wertigen Differentialformen auf . Es sei

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige, dass

gilt.



Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .



Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

(mit ) und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .



Es seien endlichdimensionale normierte - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige stetige - Differentialform auf . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg und sei eine obere Schranke für auf . Zeige, dass die Abschätzung

gilt.



Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ein stetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Wir definieren zu dem Vektorfeld eine Differentialform auf durch

Zeige, dass zu einem stetig differenzierbarer Weg die Gleichheit

gilt.



Berechne Beispiel 12.5 mit Hilfe von Satz 12.11.



Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform bezüglich des Weges



Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges



Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges



Es sei offen. Zeige, dass genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.



Betrachte zu mit und die „sichelförmige“ Menge

Für welche ist diese Menge sternförmig?



Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge zusammenhängend ist.



Es seien () endlich viele Punkte im . Zeige, dass nicht sternförmig ist.



Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.



Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.



  1. Zeige, dass die Vereinigung von zwei zusammenhängenden Kreisscheiben sternförmig ist.
  2. Es sei eine Kreisscheibe und sei eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von liegt. Ist die Vereinigung sternförmig bezüglich des Zentrums von ?
  3. Es sei eine Kreisscheibe und sei eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von liegt. Ist die Vereinigung sternförmig bezüglich des Zentrums von ?



Man gebe ein Beispiel für zwei sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass ihr Durchschnitt zusammenhängend (insbesondere nicht leer) und nicht sternförmig ist.



Es sei eine abgeschlossene sternförmige Menge und es sei die Menge aller Punkte, bezüglich der sternförmig ist. Zeige, dass abgeschlossen ist.



Es sei eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss sternförmig ist.



Es seien endlichdimensionale - Vektorräume.

  1. Es sei eine zusammenhängende offene Menge und sei eine exakte Differentialform auf . Zeige, dass die Stammform zu bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
  2. Es seien offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass zusammenhängend ist. Es sei

    eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass exakt ist.



Es sei die komplexe Zahlenebene ohne die nichtpositive reelle Achse. Bestimme eine Stammform auf zur holomorphen Differentialform mit der im Beweis zu Satz 12.16 beschriebenen Methode (mit als Startpunkt).


Für den Logarithmus gilt nach Aufgabe 8.43 im Entwicklungspunkt die Potenzreihenbeschreibung

Auf stimmt diese Reihe mit der in der vorstehenden Aufgabe konstruierten Stammfunktion zu überein, da sie ja beide in den Wert haben. Sie stimmt auch mit der lokalen Umkehrreihe zur Exponentialfunktion überein.


Berechne , wobei der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist (siehe Beispiel 12.6), mit Stammformen zu auf und auf .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .



Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Wegintegral zur -wertigen Differentialform

auf zum Weg auf dem Intervall .



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges



Aufgabe (3 Punkte)

Berechne , wobei der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene stückweise affin-lineare Weg auf dem Quadratrand zum Quadrat mit Mittelpunkt und Seitenlänge ist.




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