Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 12

Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ${}xdx+ydy$,

b) ${}xdx-ydy$,

c) ${}ydx+xdy$,

d) ${}ydx-xdy$.

Aufgabe *

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$

für die ${}1$-Differentialform

${}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu ${}\omega ={\left(z^{3}-2z\right)}dz$ zum Weg ${}\gamma (t)=t^{2}-t^{3}{\mathrm {i} }$ auf dem Intervall ${}[-1,1]$.

Aufgabe

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zur ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform

${}\omega ={\left(x+3xy-y^{2}\right)}dz\,$

auf ${}{\mathbb {C} }$ mit ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ zum Weg ${}\gamma (t)=t-3t^{2}-t^{2}{\mathrm {i} }$ auf dem Intervall ${}[-1,4]$.

Aufgabe

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zur ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform

${}\omega ={\left(x^{2}-y{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(3xy-x^{2}y{\mathrm {i} }\right)}dy\,$

auf ${}{\mathbb {C} }$ zum Weg ${}\gamma (t)=1+t^{2}+t^{3}+{\left(t^{2}-5t^{3}\right)}{\mathrm {i} }$ auf dem Intervall ${}[-2,3]$.

Aufgabe

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zur ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform

${}\omega ={\left(z{\overline {z}}\right)}dz+{\left(z-{\overline {z}}\right)}d{\overline {z}}\,$

auf ${}{\mathbb {C} }$ zum Weg ${}\gamma (t)=3+t-t^{2}{\mathrm {i} }$ auf dem Intervall ${}[0,4]$.

Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und seien ${}\omega ,\tau$ stetige Differentialformen auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für ${}r,s\in {\mathbb {K} }$ ist

   ${}\int _{\gamma }r\omega +s\tau =r\int _{\gamma }\omega +s\int _{\gamma }\tau \,.$

2. Es ist

   ${}\int _{-\gamma }\omega =-\int _{\gamma }\omega \,,$

   wobei ${}-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

3. Wenn

   $\delta \colon [b,c]\longrightarrow U$

   ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ${}\delta (b)=\gamma (b)$ ist, so ist

   ${}\int _{\gamma *\delta }\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\delta }\omega \,,$

   wobei ${}\gamma *\delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine stetige Differentialform auf ${}U$ mit Werten in ${}W$. Es sei ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ eine Basis von ${}W$ und es sei

${}\omega =\sum _{j=1}^{m}\omega _{j}z_{j}\,$

die Darstellung von ${}\omega$ mit ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Differentialformen ${}\omega _{j}$ auf ${}U$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige, dass

${}\int _{\gamma }\omega =\sum _{j=1}^{m}z_{j}\int _{\gamma }\omega _{j}\,$

gilt.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),$

(mit $c\geq 1$) und

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),$

und die Differentialform

${}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$ in Abhängigkeit von ${}c$.

Aufgabe *

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg und sei ${}B$ eine obere Schranke für ${}\Vert {\omega (P)}\Vert _{\text{max}}$ auf ${}\gamma ([a,b])$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert \leq B\cdot L(\gamma )\,$

gilt.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ${}F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ein stetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Wir definieren zu dem Vektorfeld eine Differentialform ${}\omega$ auf ${}U$ durch

${}\omega (P,v):=\left\langle F(P),v\right\rangle \,.$

Zeige, dass zu einem stetig differenzierbarer Weg ${}\gamma \colon I\rightarrow U$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }F\,$

gilt.

Aufgabe

Berechne Beispiel 12.5 mit Hilfe von Satz 12.11.

Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}zdz$ bezüglich des Weges

$[0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto {\left(3+{\mathrm {i} }\right)}t.$

Aufgabe *

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}z^{2}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto 2t^{2}-{\mathrm {i} }t.$

Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}{\frac {1}{z^{2}}}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [0,\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t.$

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen. Zeige, dass ${}U$ genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte ${}P,Q\in U$ durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.

Aufgabe

Betrachte zu ${}r,s\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}r+s>1$ und ${}s<r+1$ die „sichelförmige“ Menge

$M_{r,s}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r,\,{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\geq s\right\}}.$

Für welche ${}r,s$ ist diese Menge sternförmig?

Aufgabe

Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ ($k\geq 1$) endlich viele Punkte im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\}$ nicht sternförmig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Aufgabe

1. Zeige, dass die Vereinigung von zwei zusammenhängenden Kreisscheiben sternförmig ist.
2. Es sei ${}S$ eine Kreisscheibe und sei ${}T$ eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von ${}S$ liegt. Ist die Vereinigung ${}S\cup T$ sternförmig bezüglich des Zentrums von ${}T$?
3. Es sei ${}S$ eine Kreisscheibe und sei ${}T$ eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt auf dem Rand von ${}S$ liegt. Ist die Vereinigung ${}S\cup T$ sternförmig bezüglich des Zentrums von ${}S$?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für zwei sternförmige Mengen ${}S,T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der Eigenschaft, dass ihr Durchschnitt ${}S\cap T$ zusammenhängend (insbesondere nicht leer) und nicht sternförmig ist.

Aufgabe *

Es sei ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene sternförmige Menge und es sei ${}Z\subseteq S$ die Menge aller Punkte, bezüglich der ${}S$ sternförmig ist. Zeige, dass ${}Z$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss ${}{\overline {T}}$ sternförmig ist.

Aufgabe *

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume.

1. Es sei ${}U\subseteq V$ eine zusammenhängende offene Menge und sei ${}\omega \colon U\rightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$ eine exakte Differentialform auf ${}U$. Zeige, dass die Stammform zu ${}\omega$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
2. Es seien ${}S,T\subseteq V$ offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass ${}S\cap T$ zusammenhängend ist. Es sei

   $\omega \colon S\cup T\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$

   eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass ${}\omega$ exakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ die komplexe Zahlenebene ohne die nichtpositive reelle Achse. Bestimme eine Stammform auf ${}U$ zur holomorphen Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ mit der im Beweis zu Satz 12.16 beschriebenen Methode (mit ${}P=1$ als Startpunkt).

Für den Logarithmus gilt nach Aufgabe 8.43 im Entwicklungspunkt ${}1$ die Potenzreihenbeschreibung

${}\ln \left(z\right)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\ldots \,.$

Auf ${}U{\left(1,1\right)}$ stimmt diese Reihe mit der in der vorstehenden Aufgabe konstruierten Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{z}}$ überein, da sie ja beide in ${}1$ den Wert ${}0$ haben. Sie stimmt auch mit der lokalen Umkehrreihe zur Exponentialfunktion überein.

Aufgabe *

Berechne ${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}$, wobei ${}\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist (siehe Beispiel 12.6), mit Stammformen zu ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ und auf ${}V={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,c,d,r,s\geq 1$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

$[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =x^{a}y^{b}dx+x^{c}y^{d}dy$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform ${}\omega =(y-z^{3})dx+x^{2}dy-xzdz$.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zur ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform

${}\omega ={\left(z^{2}{\overline {z}}-3z{\overline {z}}\right)}dz+{\left(z^{2}+z{\overline {z}}^{2}\right)}d{\overline {z}}\,$

auf ${}{\mathbb {C} }$ zum Weg ${}\gamma (t)=-1-4t+2t{\mathrm {i} }-3t^{2}$ auf dem Intervall ${}[-2,3]$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform ${}{\left({\frac {4}{z^{2}}}+2{\frac {\mathrm {i} }{z}}+3+2z^{2}-{\mathrm {i} }z^{3}\right)}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ bezüglich des Weges

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \cos t+{\mathrm {i} }\sin t.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne ${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}$, wobei ${}\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene stückweise affin-lineare Weg auf dem Quadratrand zum Quadrat mit Mittelpunkt ${}0$ und Seitenlänge ${}2$ ist.