Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R } { S^1 } {t} { { \left( \cos t , \sin t \right) } } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbele {\varphi_n} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {w} {w^n } {,} und \maabbele {\varphi_k} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {y} {y^k } {,} Potenzüberlagerungen im Sinne von Beispiel 21.2. Charakterisiere, wann es eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\theta} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {} gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall $\theta$ ebenfalls eine Überlagerung?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad $\geq 2$ und sei
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
die zugehörige Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ keine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabb {f} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
derart, dass zu allen Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
\mathl{f^{-1}(P)}{} aus $n$ Punkten besteht. Ferner sei $f$ ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{.}
Zeige, dass $f$ eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Es sei $L$ die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei $M$ die Bildmenge zu $L$ unter $F$ und sei $N$ das Urbild von $M$ unter $F$. Zeige, dass
\maabbdisp {} { {\mathbb C} \setminus N } { {\mathbb C} \setminus M
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{z^2+z+1
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\maabb {\varphi} { \varphi^{-1}(U) } {U
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {F} {\R} {\R } {} ein nichtkonstantes reelles Polynom. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $F$ eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} wird, wenn man im Definitionsbereich und im Zielbereich endlich viele Punkte herausnimmt. } {Zeige, dass dabei nur dann eine Überlagerung mit konstanter Blätterzahl entsteht, wenn $F$ eine Bijektion ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbele {\varphi_n} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} {w^n
} {,}
die Potenzüberlagerung im Sinne von
Beispiel 21.2
und
\maabbele {\exp} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {w} { \exp w
} {,}
die Exponentialüberlagerung im Sinne von
Beispiel 21.3.
Zeige, dass es eine stetige Abbildung
\maabb {\theta} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times}
} {}
derart gibt, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} & \stackrel{ \theta }{\longrightarrow} & {\mathbb C} ^{\times} & \\ & \!\!\! \!\! \exp \searrow & \downarrow \varphi_n \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C} ^{\times} & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Ist $\theta$ eine Überlagerung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} { Y } { X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {Y} {und} {X} {}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass
\maabbdisp {p {{|}}_{p^{-1} (T)}} {p^{-1} (T)} { T
} {}
ebenfalls eine Überlagerung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} von \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} mit $X$ \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{.} Zeige, dass dann auch $Y$ hausdorffsch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} von \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} mit $Y$ \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{.} Zeige, dass dann auch $X$ hausdorffsch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} { Y } { X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {Y} {und} {X} {}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
sei. Zeige, dass $p$ genau dann eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist, wenn die beiden Einschränkungen von $p$ auf
\mathl{p^{-1}(T)}{} und auf
\mathl{p^{-1}(X \setminus T)}{} Überlagerungen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
von
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die sowohl
\definitionsverweis {offen}{}{}
als auch
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
sei. Zeige, dass dann auch
\maabbdisp {p {{|}}_Z} {Z} {X
} {}
eine Überlagerung ist.
}
{} {}
Eine \definitionswort {topologische Gruppe}{} ist eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$, die zugleich ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} ist derart, dass die Verknüpfung \maabbeledisp {} {G \times G} {G } {(g,h)} {g \circ h } {,} und die Inversenbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {g} {g^{-1} } {,} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} sind.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {G} {G/D
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
Interpertiere Beispiel 21.2, Beispiel 21.3 und Aufgabe 21.1 mit Aufgabe 21.14.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {offene Abbildung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$. Zeige, dass die Inklusion
\maabb {} {U} {X
} {}
genau dann eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist, wenn $U$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es bei einer
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}
zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen
\definitionsverweis {stetigen Schnitt}{}{}
\maabb {s} {U} { p^{-1}(U)
} {}
zu $p$ gibt.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben wird das relative Produkt von Mengen und topologischen Räumen eingeführt.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{L_1,L_2,M}{} Mengen und
\maabbdisp {p_1} {L_1} {M
} {}
und
\maabbdisp {p_2} {L_2} {M
} {}
Abbildungen. Wir definieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_1 \times_M L_2
}
{ \defeq} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid p_1(x_1) = p_2(x_2) \right\} }
}
{ \subseteq} { L_1 \times L_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} L_1 \times_M L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & L_1 & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
gibt.
} {Es sei $T$ eine weitere Menge und
\maabb {\psi_1} {T} {L_1
} {}
und
\maabb {\psi_2} {T} {L_2
} {}
Abbildungen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_1 \circ \psi_1
}
{ =} { p_2 \circ \psi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung
\maabbdisp {\psi} {T} {L_1 \times_M L_2
} {}
derart gibt, dass die Projektionen auf
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {}
mit $\psi_1,\psi_2$ übereinstimmen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{L_1,L_2,M}{}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und
\maabbdisp {p_1} {L_1} {M
} {}
und
\maabbdisp {p_2} {L_2} {M
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Wir definieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_1 \times_M L_2
}
{ \defeq} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid p_1(x_1) = p_2(x_2) \right\} }
}
{ \subseteq} { L_1 \times L_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {induzierten Topologie}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} L_1 \times_M L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & L_1 & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
mit stetigen Abbildungen gibt.
} {Es sei $T$ ein weiterer topologischer Raum und
\maabb {\psi_1} {T} {L_1
} {}
und
\maabb {\psi_2} {T} {L_2
} {}
stetige Abbildungen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_1 \circ \psi_1
}
{ =} { p_2 \circ \psi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung
\maabbdisp {\psi} {T} {L_1 \times_M L_2
} {}
derart gibt, dass die Projektionen auf
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {}
mit $\psi_1,\psi_2$ übereinstimmen.
}
}
{} {}
In der Situation der beiden vorstehenen Aufgaben bezeichnet man $L_1 \times_M L_2$
\zusatzklammer {mit der Projektion auf $L_2$} {} {}
auch als $p_2^*L_1$ bzw. als
\mathl{p_1^*L_2}{,} die Vorstellung ist dabei, dass man das Objekt
\maabb {p_1} {L_1} {M
} {}
längs $p_2$ auf die neue Basis $L_2$ zurückzieht.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Zeige, das für das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X \times_X Y
}
{ \cong} { Y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\zusatzklammer {wobei
\maabb {} {X} {X
} {}
die Identität sei} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung
\maabbdisp {\iota} {\{x\}} { X
} {.}
Zeige, das für das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{x\} \times_X Y
}
{ \cong} { Y_x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, also das relative Produkt mit der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X,U} {und} {V} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und seien
\maabb {p_1} {X \times U} {X
} {}
und
\maabb {p_2} {X \times V} {X
} {}
die kanonischen Projektionen nach $X$. Zeige, das für das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( X \times U \right) } \times_X { \left( X \times V \right) }
}
{ \cong} { X \times U \times V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X,Y} {und} {Z} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und seien
\maabb {\varphi} {Y} {X
} {}
und
\maabb {p} {Z} {X
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {p_Y} {Y \times_XZ } {Y
} {.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {stetiger Schnitt}{}{}
\maabb {s} {Y} { Y \times_XZ
} {}
das gleiche ist wie eine stetige Abbildung
\maabb {t} {Y} {Z
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ t
}
{ = }{ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{X,Y,Z}{} und $X'$
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es liege ein kommutatives Diagramm von
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} & Y& \stackrel{}{\longrightarrow} &Z \\ & & \searrow& \downarrow \\ & X' & \stackrel{\varphi}{ \longrightarrow } & X \end{matrix}} { }
vor. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y'
}
{ = }{ \varphi^*Y
}
{ = }{ Y \times_X X'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z'
}
{ = }{ \varphi^*Z
}
{ = }{ Z \times_X X'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} & Y' & \stackrel{}{\longrightarrow} & Z' \\ & & \searrow& \downarrow \\ & & & X' \end{matrix}} { }
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X,Y,Z} {und} {W} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und seien
\maabb {} {W} {X
} {}
und
\mathdisp {Z \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} Y\stackrel{\psi}{\longrightarrow} X} { }
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {relative Produkt}{}{}
\zusatzklammer {beziehungsweise der Rückzug} {} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* { \left( \psi^*W \right) }
}
{ =} { Z \times_Y { \left( Y \times_X W \right) }
}
{ =} { Z \times_XW
}
{ =} { ( \psi \circ \varphi)^*W
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} und es sei \maabb {\varphi} {Z} {X } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {relative Produkt}{}{} \maabbdisp {} {Z \times_X Y } { Z } {} ebenfalls eine Überlagerung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {Y} {und} {X} {,} wobei $Y$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} sei. Zeige, dass es dann zu einem \definitionsverweis {stetigen Weg}{}{} \maabb {\gamma} {[0,1]} {X } {} höchstens eine \definitionsverweis {stetige Liftung}{}{} \maabbdisp {\tilde{\gamma}} {[0,1]} {Y } {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {F} {\R} {\R } {} ein reelles Polynom. Zeige, dass es im Allgemeinen keine \definitionsverweis {Liftung}{}{} zu $F$ längs eines stetigen Weges \maabb {\gamma} {I} {\R } {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} {z^n } {,} das komplexe Potenzieren zum Exponenten $n$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Liftung}{}{} eines \definitionsverweis {geschlossenen}{}{} \definitionsverweis {stetigen Weges}{}{} $\gamma$ genau dann geschlossen ist, wenn $\gamma$ \definitionsverweis {homotop}{}{} zur $n$-fachen Hintereinanderlegung eines geschlossenen Weges ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {einfach zusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{.} Zeige, dass $p$ \definitionsverweis {trivial}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Es sei
\mathl{\operatorname{Aut}_P(G)}{} die Gruppe der
\definitionsverweis {biholomorphen}{}{}
Autormorphismen von $G$ mit $P$ als
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{.}
Zeige, dass ein natürlicher
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Aut}_P(G) } { \operatorname{Aut}( \pi(G,P) )
} {}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Analysiere die Abbildung aus
Aufgabe 21.31
für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem Aufpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Satz 18.9} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Analysiere die Abbildung aus
Aufgabe 21.31
für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { {\mathbb C} \setminus \{-1,1\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem Aufpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien \maabb {p_1} {Y_1} {X_1 } {} und \maabb {p_2} {Y_2} {X_2 } {} \definitionsverweis {Überlagerungen}{}{.} Zeige, dass auch \maabbdisp {p_1 \times p_2} {Y_1 \times Y_2} {X_1 \times X_2 } {} eine Überlagerung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {holomorph}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann ein
\definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{z^2-3z+ { \mathrm i}
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\maabb {\varphi} { \varphi^{-1}(U) } {U
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} {z^n } {,} das komplexe Potenzieren zum Exponenten $n$. Beschreibe den zugehörigen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\pi (\varphi)} { \pi_1 ( {\mathbb C} \setminus \{0\} ) } {\pi_1 ( {\mathbb C} \setminus \{0\} ) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{ P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \pi_1 ( U ) } { \Z^n
} {}
gibt.
}
{} {}