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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 21/latex

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\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R } { S^1 } {t} { { \left( \cos t , \sin t \right) } } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbele {\varphi_n} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {w} {w^n } {,} und \maabbele {\varphi_k} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {y} {y^k } {,} Potenzüberlagerungen im Sinne von Beispiel 21.2. Charakterisiere, wann es eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\theta} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {} gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall $\theta$ ebenfalls eine Überlagerung?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} [Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom vom Grad $\geq 2$ und sei \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { P(z) } {,} die zugehörige Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ keine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und \maabb {f} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} derart, dass zu allen Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{}
\mathl{f^{-1}(P)}{} aus $n$ Punkten besteht. Ferner sei $f$ ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{.} Zeige, dass $f$ eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ {\mathbb C} [Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom. Es sei $L$ die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei $M$ die Bildmenge zu $L$ unter $F$ und sei $N$ das Urbild von $M$ unter $F$. Zeige, dass \maabbdisp {} { {\mathbb C} \setminus N } { {\mathbb C} \setminus M } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{z^2+z+1 }
{ \in }{ {\mathbb C} [Z] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { P(z) } {,} die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass \maabb {\varphi} { \varphi^{-1}(U) } {U } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {F} {\R} {\R } {} ein nichtkonstantes reelles Polynom. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $F$ eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} wird, wenn man im Definitionsbereich und im Zielbereich endlich viele Punkte herausnimmt. } {Zeige, dass dabei nur dann eine Überlagerung mit konstanter Blätterzahl entsteht, wenn $F$ eine Bijektion ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbele {\varphi_n} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {w} {w^n } {,} die Potenzüberlagerung im Sinne von Beispiel 21.2 und \maabbele {\exp} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times} } {w} { \exp w } {,} die Exponentialüberlagerung im Sinne von Beispiel 21.3. Zeige, dass es eine stetige Abbildung \maabb {\theta} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times} } {} derart gibt, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} {\mathbb C} & \stackrel{ \theta }{\longrightarrow} & {\mathbb C} ^{\times} & \\ & \!\!\! \!\! \exp \searrow & \downarrow \varphi_n \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C} ^{\times} & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Ist $\theta$ eine Überlagerung?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} { Y } { X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {Y} {und} {X} {} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass \maabbdisp {p {{|}}_{p^{-1} (T)}} {p^{-1} (T)} { T } {} ebenfalls eine Überlagerung ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} von \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} mit $X$ \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{.} Zeige, dass dann auch $Y$ hausdorffsch ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} von \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} mit $Y$ \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{.} Zeige, dass dann auch $X$ hausdorffsch ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} { Y } { X } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {Y} {und} {X} {} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sei. Zeige, dass $p$ genau dann eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist, wenn die beiden Einschränkungen von $p$ auf
\mathl{p^{-1}(T)}{} und auf
\mathl{p^{-1}(X \setminus T)}{} Überlagerungen sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} von \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sei. Zeige, dass dann auch \maabbdisp {p {{|}}_Z} {Z} {X } {} eine Überlagerung ist.

}
{} {}


Eine \definitionswort {topologische Gruppe}{} ist eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$, die zugleich ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} ist derart, dass die Verknüpfung \maabbeledisp {} {G \times G} {G } {(g,h)} {g \circ h } {,} und die Inversenbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {g} {g^{-1} } {,} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{} sind.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {diskrete}{}{} \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{} \maabbdisp {} {G} {G/D } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}

Interpertiere Beispiel 21.2, Beispiel 21.3 und Aufgabe 21.1 mit Aufgabe 21.14.




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {offene Abbildung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} eines \definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{} $X$. Zeige, dass die Inklusion \maabb {} {U} {X } {} genau dann eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist, wenn $U$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es bei einer \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} \maabb {p} {Y} {X } {} zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einen \definitionsverweis {stetigen Schnitt}{}{} \maabb {s} {U} { p^{-1}(U) } {} zu $p$ gibt.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben wird das relative Produkt von Mengen und topologischen Räumen eingeführt.


\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{L_1,L_2,M}{} Mengen und \maabbdisp {p_1} {L_1} {M } {} und \maabbdisp {p_2} {L_2} {M } {} Abbildungen. Wir definieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_1 \times_M L_2 }
{ \defeq} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid p_1(x_1) = p_2(x_2) \right\} } }
{ \subseteq} { L_1 \times L_2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm


\mathdisp {\begin{matrix} L_1 \times_M L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & L_1 & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }

gibt. } {Es sei $T$ eine weitere Menge und \maabb {\psi_1} {T} {L_1 } {} und \maabb {\psi_2} {T} {L_2 } {} Abbildungen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_1 \circ \psi_1 }
{ =} { p_2 \circ \psi_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung \maabbdisp {\psi} {T} {L_1 \times_M L_2 } {} derart gibt, dass die Projektionen auf \mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {} mit $\psi_1,\psi_2$ übereinstimmen. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{L_1,L_2,M}{} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und \maabbdisp {p_1} {L_1} {M } {} und \maabbdisp {p_2} {L_2} {M } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.} Wir definieren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_1 \times_M L_2 }
{ \defeq} { { \left\{ (x_1,x_2) \mid p_1(x_1) = p_2(x_2) \right\} } }
{ \subseteq} { L_1 \times L_2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {induzierten Topologie}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm


\mathdisp {\begin{matrix} L_1 \times_M L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & L_1 & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }

mit stetigen Abbildungen gibt. } {Es sei $T$ ein weiterer topologischer Raum und \maabb {\psi_1} {T} {L_1 } {} und \maabb {\psi_2} {T} {L_2 } {} stetige Abbildungen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_1 \circ \psi_1 }
{ =} { p_2 \circ \psi_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung \maabbdisp {\psi} {T} {L_1 \times_M L_2 } {} derart gibt, dass die Projektionen auf \mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {} mit $\psi_1,\psi_2$ übereinstimmen. }

}
{} {}

In der Situation der beiden vorstehenen Aufgaben bezeichnet man $L_1 \times_M L_2$ \zusatzklammer {mit der Projektion auf $L_2$} {} {} auch als $p_2^*L_1$ bzw. als
\mathl{p_1^*L_2}{,} die Vorstellung ist dabei, dass man das Objekt \maabb {p_1} {L_1} {M } {} längs $p_2$ auf die neue Basis $L_2$ zurückzieht.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} Zeige, das für das \definitionsverweis {relative Produkt}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X \times_X Y }
{ \cong} { Y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt \zusatzklammer {wobei \maabb {} {X} {X } {} die Identität sei} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung \maabbdisp {\iota} {\{x\}} { X } {.} Zeige, das für das \definitionsverweis {relative Produkt}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{x\} \times_X Y }
{ \cong} { Y_x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, also das relative Produkt mit der \definitionsverweis {Faser}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X,U} {und} {V} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und seien \maabb {p_1} {X \times U} {X } {} und \maabb {p_2} {X \times V} {X } {} die kanonischen Projektionen nach $X$. Zeige, das für das \definitionsverweis {relative Produkt}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( X \times U \right) } \times_X { \left( X \times V \right) } }
{ \cong} { X \times U \times V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X,Y} {und} {Z} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und seien \maabb {\varphi} {Y} {X } {} und \maabb {p} {Z} {X } {} \definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.} Es sei \maabbdisp {p_Y} {Y \times_XZ } {Y } {.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {stetiger Schnitt}{}{} \maabb {s} {Y} { Y \times_XZ } {} das gleiche ist wie eine stetige Abbildung \maabb {t} {Y} {Z } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p \circ t }
{ = }{ \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{X,Y,Z}{} und $X'$ \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und es liege ein kommutatives Diagramm von \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} & Y& \stackrel{}{\longrightarrow} &Z \\ & & \searrow& \downarrow \\ & X' & \stackrel{\varphi}{ \longrightarrow } & X \end{matrix}} { }
vor. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y' }
{ = }{ \varphi^*Y }
{ = }{ Y \times_X X' }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z' }
{ = }{ \varphi^*Z }
{ = }{ Z \times_X X' }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} & Y' & \stackrel{}{\longrightarrow} & Z' \\ & & \searrow& \downarrow \\ & & & X' \end{matrix}} { }
vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X,Y,Z} {und} {W} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und seien \maabb {} {W} {X } {} und
\mathdisp {Z \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} Y\stackrel{\psi}{\longrightarrow} X} { }
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {relative Produkt}{}{} \zusatzklammer {beziehungsweise der Rückzug} {} {} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* { \left( \psi^*W \right) } }
{ =} { Z \times_Y { \left( Y \times_X W \right) } }
{ =} { Z \times_XW }
{ =} { ( \psi \circ \varphi)^*W }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} und es sei \maabb {\varphi} {Z} {X } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {relative Produkt}{}{} \maabbdisp {} {Z \times_X Y } { Z } {} ebenfalls eine Überlagerung ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {Y} {und} {X} {,} wobei $Y$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} sei. Zeige, dass es dann zu einem \definitionsverweis {stetigen Weg}{}{} \maabb {\gamma} {[0,1]} {X } {} höchstens eine \definitionsverweis {stetige Liftung}{}{} \maabbdisp {\tilde{\gamma}} {[0,1]} {Y } {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {F} {\R} {\R } {} ein reelles Polynom. Zeige, dass es im Allgemeinen keine \definitionsverweis {Liftung}{}{} zu $F$ längs eines stetigen Weges \maabb {\gamma} {I} {\R } {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} {z^n } {,} das komplexe Potenzieren zum Exponenten $n$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Liftung}{}{} eines \definitionsverweis {geschlossenen}{}{} \definitionsverweis {stetigen Weges}{}{} $\gamma$ genau dann geschlossen ist, wenn $\gamma$ \definitionsverweis {homotop}{}{} zur $n$-fachen Hintereinanderlegung eines geschlossenen Weges ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {einfach zusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{.} Zeige, dass $p$ \definitionsverweis {trivial}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Es sei
\mathl{\operatorname{Aut}_P(G)}{} die Gruppe der \definitionsverweis {biholomorphen}{}{} Autormorphismen von $G$ mit $P$ als \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{.} Zeige, dass ein natürlicher \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Aut}_P(G) } { \operatorname{Aut}( \pi(G,P) ) } {} vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Analysiere die Abbildung aus Aufgabe 21.31 für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit dem Aufpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {vergleiche Satz 18.9} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Analysiere die Abbildung aus Aufgabe 21.31 für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { {\mathbb C} \setminus \{-1,1\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit dem Aufpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \maabb {p_1} {Y_1} {X_1 } {} und \maabb {p_2} {Y_2} {X_2 } {} \definitionsverweis {Überlagerungen}{}{.} Zeige, dass auch \maabbdisp {p_1 \times p_2} {Y_1 \times Y_2} {X_1 \times X_2 } {} eine Überlagerung ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabb {f} {U} { {\mathbb C} } {} \definitionsverweis {holomorph}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann ein \definitionsverweis {lokaler Homöomorphismus}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(z) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{z^2-3z+ { \mathrm i} }
{ \in }{ {\mathbb C} [Z] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { P(z) } {,} die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass \maabb {\varphi} { \varphi^{-1}(U) } {U } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} {z^n } {,} das komplexe Potenzieren zum Exponenten $n$. Beschreibe den zugehörigen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\pi (\varphi)} { \pi_1 ( {\mathbb C} \setminus \{0\} ) } {\pi_1 ( {\mathbb C} \setminus \{0\} ) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{ P_1 , \ldots , P_n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \pi_1 ( U ) } { \Z^n } {} gibt.

}
{} {}