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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 21

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Übungsaufgaben

Zeige, dass die Abbildung

eine Überlagerung ist.



Es seien , , und , , Potenzüberlagerungen im Sinne von Beispiel 21.2. Charakterisiere, wann es eine stetige Abbildung

gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall ebenfalls eine Überlagerung?



Es sei ein Polynom vom Grad und sei

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass keine Überlagerung ist.



Es seien offen und eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten die Faser aus Punkten besteht. Ferner sei ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass eine Überlagerung ist.



Es sei ein Polynom. Es sei die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei die Bildmenge zu unter und sei das Urbild von unter . Zeige, dass

eine Überlagerung ist.



Es sei und sei

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.



Es sei ein nichtkonstantes reelles Polynom.

  1. Zeige, dass eine Überlagerung wird, wenn man im Definitionsbereich und im Zielbereich endlich viele Punkte herausnimmt.
  2. Zeige, dass dabei nur dann eine Überlagerung mit konstanter Blätterzahl entsteht, wenn eine Bijektion ist.



Es sei , , die Potenzüberlagerung im Sinne von Beispiel 21.2 und , , die Exponentialüberlagerung im Sinne von Beispiel 21.3. Zeige, dass es eine stetige Abbildung derart gibt, dass das Diagramm

kommutiert. Ist eine Überlagerung?



Es sei eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen und und sei eine Teilmenge. Zeige, dass

ebenfalls eine Überlagerung ist.



Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und mit hausdorffsch. Zeige, dass dann auch hausdorffsch ist.



Es sei eine surjektive Überlagerung von topologischen Räumen und mit hausdorffsch. Zeige, dass dann auch hausdorffsch ist.



Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und und es sei eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass genau dann eine Überlagerung ist, wenn die beiden Einschränkungen von auf und auf Überlagerungen sind.



Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und und sei eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass dann auch

eine Überlagerung ist.


Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe , die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

und die Inversenbildung

stetige Abbildungen sind.



Es sei eine topologische Gruppe und sei eine diskrete Untergruppe. Zeige, dass die Quotientenabbildung

eine Überlagerung ist.


Interpertiere Beispiel 21.2, Beispiel 21.3 und Aufgabe 21.1 mit Aufgabe 21.14.


Zeige, dass ein lokaler Homöomorphismus eine offene Abbildung ist.



Es sei eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes . Zeige, dass die Inklusion genau dann eine Überlagerung ist, wenn abgeschlossen ist.



Zeige, dass es bei einer Überlagerung zu jedem Punkt eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt.


In den folgenden Aufgaben wird das relative Produkt von Mengen und topologischen Räumen eingeführt.


Es seien Mengen und

und

Abbildungen. Wir definieren

  1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

    gibt.

  2. Es sei eine weitere Menge und und Abbildungen mit

    Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

    derart gibt, dass die Projektionen auf bzw. mit übereinstimmen.



Es seien topologische Räume und

und

stetige Abbildungen. Wir definieren

mit der induzierten Topologie.

  1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

    mit stetigen Abbildungen gibt.

  2. Es sei ein weiterer topologischer Raum und und stetige Abbildungen mit

    Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

    derart gibt, dass die Projektionen auf bzw. mit übereinstimmen.


In der Situation der beiden vorstehenen Aufgaben bezeichnet man (mit der Projektion auf ) auch als bzw. als , die Vorstellung ist dabei, dass man das Objekt längs auf die neue Basis zurückzieht.


Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und . Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

gilt (wobei die Identität sei).



Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und . Es sei ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung

Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

gilt, also das relative Produkt mit der Faser übereinstimmt.



Es seien und topologische Räume und seien und die kanonischen Projektionen nach . Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

gilt.



Es seien und topologische Räume und seien und stetige Abbildungen. Es sei

Zeige, dass ein stetiger Schnitt das gleiche ist wie eine stetige Abbildung mit .



Es seien und topologische Räume und es liege ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen

vor. Es sei und . Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

vorliegt.



Es seien und topologische Räume und seien und

stetige Abbildungen. Zeige, dass das relative Produkt (beziehungsweise der Rückzug) die Beziehung

erfüllt.



Es sei eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen und und es sei eine stetige Abbildung. Zeige, dass das relative Produkt

ebenfalls eine Überlagerung ist.



Es sei ein lokaler Homöomorphismus zwischen den topologischen Räumen und , wobei ein Hausdorffraum sei. Zeige, dass es dann zu einem stetigen Weg höchstens eine stetige Liftung

gibt.



Es sei ein reelles Polynom. Zeige, dass es im Allgemeinen keine Liftung zu längs eines stetigen Weges gibt.



Es sei

das komplexe Potenzieren zum Exponenten . Zeige, dass die Liftung eines geschlossenen stetigen Weges genau dann geschlossen ist, wenn homotop zur -fachen Hintereinanderlegung eines geschlossenen Weges ist.



Es sei ein einfach zusammenhängender topologischer Raum und eine Überlagerung. Zeige, dass trivial ist.



Es sei ein Gebiet und ein Punkt. Es sei die Gruppe der biholomorphen Autormorphismen von mit als Fixpunkt. Zeige, dass ein natürlicher Gruppenhomomorphismus

vorliegt.



Analysiere die Abbildung aus Aufgabe 21.31 für

mit dem Aufpunkt (vergleiche Satz 18.9).



Analysiere die Abbildung aus Aufgabe 21.31 für

mit dem Aufpunkt .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Überlagerungen. Zeige, dass auch

eine Überlagerung ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei offen und sei holomorph. Zeige, dass genau dann ein lokaler Homöomorphismus ist, wenn für alle gilt.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei und sei

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

das komplexe Potenzieren zum Exponenten . Beschreibe den zugehörigen Gruppenhomomorphismus



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei . Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

gibt.




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