Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Komplexe Reihen}
\inputdefinition
{}
{
Man sagt, dass eine
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
$a_n$ \definitionswort {konvergiert}{,} wenn die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
der Partialsummen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_n
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^n a_{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{Komplexe Zahlen/Reihe/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
\definitionsverweis {konvergente Reihen}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
mit den Summen
\mathkor {} {s} {und} {t} {.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{ a_n+b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls konvergent mit der Summe
\mathl{s+t}{.}
} {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty d_{ k }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d_n
}
{ = }{ \lambda a_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergent mit der Summe $\lambda s$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.2. }
{Komplexe Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
eine
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Reihe genau dann
\definitionsverweis {konvergent}{}{,}
wenn das folgende \stichwort {Cauchy-Kriterium} {} erfüllt ist: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ = }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{k = m}^n a_k }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.3. }
{Komplexe Zahlen/Reihenkonvergenz/Nullkonvergenz der Summanden/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.5. }
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
heißt \definitionswort {absolut konvergent}{,} wenn die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty \betrag { a_k }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Reihen/Majorantenkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{}
von
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
und
\mathl{{ \left( a_k \right) }_{k \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_k }
}
{ \leq }{ b_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $k$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.
{Komplexe Reihe/Absolut/Umordnung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{} eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {komplexe Reihe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann konvergiert jede
\definitionsverweis {Umordnung}{}{}
der Reihe gegen den gleichen Grenzwert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.12. }
Der Beweis der beiden folgenden Kriterien, Quotientenkriterium und Wurzelkriterium, verwendet die Konvergenz der geometrischen Reihe, an die wir in
Satz 7.3
erinnern.
{Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }} { }
eine
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es gebe eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
$q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{q
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein $k_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{a_{k+1} }{a_k} }
}
{ \leq} { q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{ k_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Insbesondere sei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a_k
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{k
}
{ \geq }{k_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k }}{}
\definitionsverweis {absolut}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.6. }
{Komplexe Reihe/Konvergenz/Wurzelkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $\sum_{n = 0}^\infty a_n$ eine
\definitionsverweis {komplexe Reihe}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es gebe ein reelles $q$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ q
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{ \betrag { a_n } }
}
{ \leq} { q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$.}
\faktfolgerung {Dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
die Reihe
\definitionsverweis {absolut}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.7. }
\inputdefinition
{}
{
Zu
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
heißt die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } \text{ mit } c_k = \sum_{ i = 0 }^{ k } a_i b_{k-i}} { }
das \definitionswort {Cauchy-Produkt}{} der beiden Reihen.
}
{Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
zwei
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} absolut konvergent und für die Summe gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }
}
{ =} { { \left( \sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \right) } \cdot { \left( \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.9. }
\zwischenueberschrift{Summierbarkeit}
Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dabei kann sich sowohl die Summe als auch die Eigenschaft, ob eine konvergente Reihe vorliegt, ändern, allerdings nicht, wenn die Reihe
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{}
ist, siehe
Aufgabe 9.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und
Aufgabe 6.12.
Wenn man sich für die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen interessiert, so ist es natürlicher, dies direkt als die Summe $\sum_{p \text{ Primzahl} } { \frac{ 1 }{ p } }$ aufzufassen, anstatt die Primzahlen durchzunummerieren, um eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Reihe zu haben. Wenn man zwei absolut konvergente Reihen
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {}
multiplizieren möchte, so geht es nach der Regel, jeden Summanden mit jedem Summanden zu multiplizieren, um die Summe aller Einzelprodukte
\mathbed {a_ib_j} {}
{(i,j) \in \N \times \N} {}
{} {} {} {,}
wobei eben $\N^2$ die natürliche Indexmenge ist, für die es keine naheliegende Ordung gibt. In der Definition von
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
werden die Produkte mit konstanter Indexsumme zusammengefasst, um eine Summationsreihenfolge festzulegen, es gibt aber auch noch viele andere Möglichkeiten. Vor diesem Hintergrund ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. Die Familie sei als
\mathbed {a_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
gegeben. Für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_E
}
{ =} { \sum_{i \in E} a_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen $a_E$ Bezug nehmen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Diese Familie heißt \definitionswort {summierbar}{,} wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle endlichen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_E -s }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_E
}
{ = }{ \sum_{i \in E} a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im summierbaren Fall heißt $s$ die \definitionswort {Summe}{} der Familie.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} Diese Familie heißt eine \definitionswort {Cauchy-Familie}{,} wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0 \cap D
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_D }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_D
}
{ = }{ \sum_{i \in D} a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {Indexmenge}{}{}
und
\mathbed {a_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Familie genau dann
\definitionsverweis {summierbar}{}{,}
wenn sie eine
\definitionsverweis {Cauchy-Familie}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst die Familie
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
mit der Summe $s$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Zu
\mathl{\epsilon/2}{} gibt es eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle endlichen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_E-s }
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Für jede zu $E_0$
\definitionsverweis {disjunkte}{}{}
endliche Teilmenge $D$ gilt dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { a_D }
}
{ =} { \betrag { a_D +a_{E_0} -s -a_{E_0} +s }
}
{ \leq} { \betrag { a_D +a_{E_0} - s } + \betrag { a_{E_0} - s }
}
{ =} { \betrag { a_ {E_0 \cup D} - s } + \betrag { a_{E_0} - s }
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mathbed {a_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Cauchy-Familie}{}{.}
Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n \cap D
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_D }
}
{ \leq }{ 1/n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Wir können annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_n
}
{ \subseteq }{ E_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$ gilt. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} {a_{E_n}
}
{ =} { \sum_{i \in E_n} a_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{m
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_k-x_m }
}
{ =} { \betrag { \sum_{i \in E_k} a_i - \sum_{i \in E_m} a_i }
}
{ =} { \betrag { a_{E_k \setminus E_m} }
}
{ \leq} { 1/m
}
{ \leq} { 1/n
}
}
{}{}{,}
da die Menge
\mathl{E_k \setminus E_m}{} disjunkt zu $E_m$ ist. Daher ist
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
und somit wegen der
\definitionsverweis {Vollständigkeit}{}{}
von ${\mathbb C}$
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
gegen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe $s$. Es sei dazu ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1/n
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-s }
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für jedes endliche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \supseteq }{ E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir
\mathbed {E= E_n \cup D} {mit}
{E_n \cap D = \emptyset} {}
{} {} {} {.}
Damit gelten die Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { a_E -s }
}
{ =} { \betrag { a_{E_n} +a_D -s }
}
{ \leq} { \betrag { a_{E_n} -s } + \betrag { a_D }
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
{Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Teilfamilie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathbed {a_i} {,}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathbed {a_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 6.13. }
\inputfaktbeweis
{Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {summierbare Familie}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
mit der Summe $s$. Es sei $J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {sei eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_j
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{\bigcup_{j \in J} I_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_j \cap I_{j'}
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \neq }{j'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die Teilfamilien
\mathbed {a_i} {}
{i \in I_j} {}
{} {} {} {,}
summierbar und für ihre Summen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_j
}
{ = }{ \sum_{i \in I_j} a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, dass die Familie
\mathbed {s_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
summierbar ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} {\sum_{j \in J } s_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus
Korollar 6.15.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_0
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_E -s }
}
{ \leq} { \epsilon/2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle endlichen Teilmengen
\mathbed {E \subseteq I} {mit}
{E_0 \subseteq E} {}
{} {} {} {.}
Es gibt eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0
}
{ \subseteq }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_0
}
{ \subseteq} { \bigcup_{j \in F_0 } I_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
Wir behaupten, dass dieses $F_0$ für die Familie
\mathbed {s_j} {,}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
die Summationseigenschaft für $\epsilon$ erfüllt. Es sei dazu
\mathbed {F \subseteq J} {mit}
{F_0 \subseteq F} {}
{} {} {} {}
endlich und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ { \# \left( F \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Familien
\mathbed {a_i} {,}
{i \in I_j} {}
{} {} {} {,}
summierbar mit den Summen $s_j$ sind, gibt es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \in }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endliches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_{j,0}
}
{ \subseteq }{ I_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a_{G_j} -s_j }
}
{ \leq} { \epsilon/2n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle endlichen
\mathbed {G_j \subseteq I_j} {mit}
{G_{j,0} \subseteq G_{j}} {}
{} {} {} {.}
Wir wählen nun für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \in }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein solches $G_j$ so, dass zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0 \cap I_j
}
{ \subseteq }{ G_{j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_0
}
{ \subseteq }{E
}
{ \defeq }{ \bigcup_{j \in F} G_j
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{j \in F} a_{G_j} -s }
}
{ = }{ \betrag { \sum_{i \in E} a_i -s }
}
{ \leq }{ \epsilon/2
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { \sum_{j \in F} s_j -s }
}
{ =} { \betrag { \sum_{j \in F} { \left( s_j - a_{G_j} \right) } + \sum_{j \in F} a_{G_j} -s }
}
{ \leq} { \sum_{j \in F} \betrag { s_j - a_{G_j} } + \betrag { \sum_{j \in F} a_{G_j} -s }
}
{ \leq} { n \cdot \epsilon/2n + \betrag { \sum_{i \in E} a_i -s }
}
{ \leq} { n \cdot \epsilon/2n + \epsilon/2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}