Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 6

Komplexe Reihen

Definition

Man sagt, dass eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{n}$ konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,$

konvergiert.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen ${}s$ und ${}t$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ mit  ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$  ist ebenfalls konvergent mit der Summe ${}s+t$.
2. Für  ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$  ist auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ mit  ${}d_{n}=\lambda a_{n}$  konvergent mit der Summe ${}\lambda s$.

Beweis

Siehe Aufgabe 6.2.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem  ${}\epsilon >0$  gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle  ${}n\geq m=n_{0}$  die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 6.3.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist

${}\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 6.5.

$\Box$

Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

Lemma

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen mit  ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$  für alle ${}k$.

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergent.

Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente komplexe Reihe.

Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert.

Beweis

Siehe Aufgabe 6.12.

$\Box$

Der Beweis der beiden folgenden Kriterien, Quotientenkriterium und Wurzelkriterium, verwendet die Konvergenz der geometrischen Reihe, an die wir in Satz 7.3 erinnern.

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit  ${}0\leq q<1$  und ein ${}k_{0}$ mit

${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

für alle  ${}k\geq k_{0}$  (Insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$).

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

Beweis

Siehe Aufgabe 6.6.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine komplexe Reihe. Es gebe ein reelles ${}q$,  ${}0\leq q<1$,  mit

${}{\sqrt[{n}]{\vert {a_{n}}\vert }}\leq q\,$

für alle ${}n$.

Dann konvergiert die Reihe absolut.

Beweis

Siehe Aufgabe 6.7.

$\Box$

Definition

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 6.9.

$\Box$

Summierbarkeit

Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dabei kann sich sowohl die Summe als auch die Eigenschaft, ob eine konvergente Reihe vorliegt, ändern, allerdings nicht, wenn die Reihe absolut konvergent ist, siehe Aufgabe 9.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Aufgabe 6.12. Wenn man sich für die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen interessiert, so ist es natürlicher, dies direkt als die Summe ${}\sum _{p{\text{ Primzahl}}}{\frac {1}{p}}$ aufzufassen, anstatt die Primzahlen durchzunummerieren, um eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Reihe zu haben. Wenn man zwei absolut konvergente Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ multiplizieren möchte, so geht es nach der Regel, jeden Summanden mit jedem Summanden zu multiplizieren, um die Summe aller Einzelprodukte ${}a_{i}b_{j}$, ${}(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, wobei eben ${}\mathbb {N} ^{2}$ die natürliche Indexmenge ist, für die es keine naheliegende Ordung gibt. In der Definition von Cauchy-Produkt werden die Produkte mit konstanter Indexsumme zusammengefasst, um eine Summationsreihenfolge festzulegen, es gibt aber auch noch viele andere Möglichkeiten. Vor diesem Hintergrund ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. Die Familie sei als ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, gegeben. Für jede endliche Teilmenge  ${}E\subseteq I$  kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen

${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}\,.$

Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen ${}a_{E}$ Bezug nehmen.

Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein  ${}s\in {\mathbb {C} }$  mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem  ${}\epsilon >0$  gibt es eine endliche Teilmenge  ${}E_{0}\subseteq I$  derart, dass für alle endlichen Teilmengen  ${}E\subseteq I$  mit  ${}E_{0}\subseteq E$  die Beziehung

${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist  ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$.  Im summierbaren Fall heißt ${}s$ die Summe der Familie.

Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  eine endliche Teilmenge  ${}E_{0}\subseteq I$  derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge  ${}D\subseteq I$  mit  ${}E_{0}\cap D=\emptyset$  die Beziehung

${}\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist  ${}a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$. 

Lemma

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen.

Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.

Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe ${}s$, und sei  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Zu ${}\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge  ${}E_{0}\subseteq I$  derart, dass für alle endlichen Mengen  ${}E\subseteq I$  mit  ${}E_{0}\subseteq E$  die Abschätzung  ${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2$  gilt. Für jede zu ${}E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge ${}D$ gilt dann

${}{\begin{aligned}\vert {a_{D}}\vert &=\vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s-a_{E_{0}}+s}\vert \\&\leq \vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&=\vert {a_{E_{0}\cup D}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  gibt es eine endliche Teilmenge  ${}E_{n}\subseteq I$  derart, dass für jede endliche Teilmenge  ${}D\subseteq I$  mit  ${}E_{n}\cap D=\emptyset$  die Abschätzung  ${}\vert {a_{D}}\vert \leq 1/n$  gilt. Wir können annehmen, dass  ${}E_{n}\subseteq E_{n+1}$  für alle ${}n$ gilt. Wir setzen

${}x_{n}:=a_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}a_{i}\,.$

Für  ${}k\geq m\geq n$  gilt

${}\vert {x_{k}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{i\in E_{k}}a_{i}-\sum _{i\in E_{m}}a_{i}}\vert =\vert {a_{E_{k}\setminus E_{m}}}\vert \leq 1/m\leq 1/n\,,$

da die Menge ${}E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu ${}E_{m}$ ist. Daher ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von ${}{\mathbb {C} }$ konvergent gegen ein  ${}s\in {\mathbb {C} }$. 
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe ${}s$. Es sei dazu ein  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Es gibt  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  mit  ${}1/n\leq \epsilon /2$.  Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben  ${}\vert {x_{n}-s}\vert \leq \epsilon /2$.  Für jedes endliche  ${}E\supseteq E_{n}$  schreiben wir ${}E=E_{n}\cup D$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$. Damit gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {a_{E}-s}\vert &=\vert {a_{E_{n}}+a_{D}-s}\vert \\&\leq \vert {a_{E_{n}}-s}\vert +\vert {a_{D}}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und  ${}J\subseteq I$  eine Teilmenge.

Dann ist auch ${}a_{i}$ , ${}i\in J$, summierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe 6.13.

$\Box$

Satz

Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$. Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem  ${}j\in J$  sei eine Teilmenge  ${}I_{j}\subseteq I$  gegeben mit  ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$  und  ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$  für  ${}j\neq j'$. 

Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$, ${}i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen  ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$  gilt, dass die Familie ${}s_{j}$, ${}j\in J$, summierbar ist mit

${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$

Beweis

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Korollar 6.15. Es sei  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge  ${}E_{0}\subseteq I$  mit

${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2\,$

für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$. Es gibt eine endliche Teilmenge  ${}F_{0}\subseteq J$  derart, dass

${}E_{0}\subseteq \bigcup _{j\in F_{0}}I_{j}\,$

ist. Wir behaupten, dass dieses ${}F_{0}$ für die Familie ${}s_{j}$ , ${}j\in J$, die Summationseigenschaft für ${}\epsilon$ erfüllt. Es sei dazu ${}F\subseteq J$ mit ${}F_{0}\subseteq F$ endlich und  ${}n={\#\left(F\right)}$.  Da die Familien ${}a_{i}$ , ${}i\in I_{j}$, summierbar mit den Summen ${}s_{j}$ sind, gibt es für jedes  ${}j\in F$  ein endliches  ${}G_{j,0}\subseteq I_{j}$  mit

${}\vert {a_{G_{j}}-s_{j}}\vert \leq \epsilon /2n\,$

für alle endlichen ${}G_{j}\subseteq I_{j}$ mit ${}G_{j,0}\subseteq G_{j}$. Wir wählen nun für jedes  ${}j\in F$  ein solches ${}G_{j}$ so, dass zusätzlich  ${}E_{0}\cap I_{j}\subseteq G_{j}$  gilt. Dann ist  ${}E_{0}\subseteq E:=\bigcup _{j\in F}G_{j}$  und daher  ${}\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \leq \epsilon /2$.  Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in F}s_{j}-s}\vert &=\vert {\sum _{j\in F}{\left(s_{j}-a_{G_{j}}\right)}+\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq \sum _{j\in F}\vert {s_{j}-a_{G_{j}}}\vert +\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

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