Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	$\sum$
Punkte	3	3	4	2	5	3	1	8	2	4	5	4	3	2	2	1	1	2	2	4	2	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen $L$ und $M$.
2. Eine Relation auf einer Menge $M$.
3. Die Menge der ganzen Zahlen.
4. Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen $a_1,\dots ,a_k$.
5. Ein Prozent.
6. Eine wachsende Abbildung $f:K\to K$ auf einem angeordneten Körper $K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
3. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe die erste binomische Formel für rationale Zahlen auf die erste binomische Formel für ganze Zahlen zurück.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Zu  $n\in \mathbb{N}$  sei $f(n)$ der minimale Eurobetrag, für den man mindestens $n$ Euromünzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen.

1. Erstelle eine Tabelle, aus der die Werte für $f(n)$ ablesbar sind!
2. Was ist $f(1000000)$?

Aufgabe * (3 Punkte)

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich $4$ Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich $2$-Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern wiedergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.

Aufgabe * (1 Punkt)

Professor Knopfloch ist soeben aufgestanden und noch etwas schläfrig. Er setzt sich seine zwei Kontaktlinsen in seine Augen. Beim Frühstück stellt er fest, dass in seinem linken Auge keine Kontaktlinse ist. Er ist sich sicher, dass keine Kontaktlinse verloren ging, jede Kontaklinse landete in einem seiner Augen. Ist die Abbildung, die die Zuordnung an diesem Morgen der Kontaktlinsen zu den Augen beschreibt, surjektiv, injektiv, bijektiv?

Aufgabe * (8 Punkte)

Es seien $L,M,N$ endliche Mengen mit $\ell ,m$ bzw. $n$ Elementen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi :\mathrm{Abb}(L,M)\times \mathrm{Abb}(M,N)⟶\mathrm{Abb}(L,N),(f,g)⟼g\circ f,$

die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass $\Psi$ genau dann surjektiv ist, wenn

$m\ge \min (\ell ,n)$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man die $5$ als Summe von positiven natürlichen Zahlen darstellen (Darstellungen, die man durch Vertauschen der Reihenfolge ineinander überführen kann, gelten dabei als gleich; $5=5$ ist eine Darstellung)?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen $a,n,k$ die Beziehung

$a^{(n^k)}=\underset{k\text{ Potenzierungen}}{\underbrace{{\left({(\dots {\left({\left(a^n\right)}^n\right)}^n\dots )}^n\right)}^n}}$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es seien $k,n$ natürliche Zahlen mit  $2\le k\le \frac{n}{2}$. 

1. Zeige, dass der Binomialkoeffizient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ zumindest $2$ Primteiler besitzt.
2. Man gebe ein Beispiel mit  $k\ge 3$,  wo $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ das Produkt von zwei Primzahlen ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Im Eindeutigkeitsbeweis für die Division mit Rest „ $n$ durch $d$ “ stehen folgende Notationsmöglichkeiten zur Auswahl.

1. $qd+r=n=\tilde{q}d+\tilde{r}.$

2. $qd+r=n=pd+s.$

3. $q_{1}d+r_1=n=q_{2}d+r_2.$

   Diskutiere Vor- und Nachteile der einzelnen Notationen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte im $13$er System mit den Ziffern $0,1,\dots ,8,9,A,B,C$ die Zahl

$BA4C.$

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe die Multiplikation $8092\cdot 714$ mit dem Jalousie-Verfahren durch.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei $N$ die Nachfolgerabbildung und $V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne

$(V\circ N\circ N\circ N\circ V\circ V\circ V\circ N\circ V\circ V\circ V\circ N\circ N\circ N\circ V)(-2).$

Aufgabe (1 Punkt)

Beschreibe den Verlauf der skizzierten Funktion in Worten.

Aufgabe * (2 Punkte)

Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa $12.000kJ$ (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa $3kWh$ pro $m^2$ ($3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?

Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.