Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/22/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 0 0 0 3 0 4 0 2 4 2 4 3 2 3 2 0 0 3 38



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Komplement zu einer Teilmenge in einer Menge .
  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  4. Eine rationale Zahl.
  5. Das arithmetische Mittel zu Elementen in einem angeordneten Körper .
  6. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir zählen im Einsilbensystem, also mit den Abweichungen

sechs, sie, ben, acht, ... , sechzehn, siezehn, benzehn, achtzehn, ..., sechsundsiezig, sieundsiezig, benundsiezig, achtundsiezig, .. ., sechsundbenzig, sieundbenzig, benundbenzig, achtundbenzig, ...

  1. Drücke die übliche Zahl Siebenundachtzig als Einsilbenzahl aus.
  2. Drücke die Einsilbenzahl Sieundachtzig in der üblichen Weise aus.
  3. Drücke die Einsilbenzahl Bentausendsiehundertbenundbenzig in der üblichen Weise aus.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit . Zeige

Gilt

in ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde die Zifferntupel , die die Gleichung

erfüllen, wobei und zweistellige Zahlen im Dezimalsystem bezeichnen. Schreibe die Gleichungen für die gefundenen Lösungen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Gabi Hochster sagt zu Heinz Ngolo: „Also, wir haben im Universum genau Atome, das nehmen wir jetzt mal so hin. Diese ordnen wir hintereinander von links nach rechts an und zeichnen auf jedem Atom ein Minuszeichen drauf. Nur auf den drei allerletzten Atomen malen wir der Reihe nach eine , eine und eine “. „Ich will aber auf meinen Atomen keine Minuszeichen haben“, sagt Heinz. „Egal, nun mach halt mit, es geht um die abstrakte Rechnung als solche“, bekräftigt Gabi, „also, ist diese geschriebene Zahl positiv oder negativ, ist sie gerade oder ungerade“?


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl , die nicht prim ist und die außer keinen Teiler kleiner als besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung

ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (3 Punkte)

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.