Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	$\sum$
Punkte	3	3	2	3	1	2	8	3	3	2	1	2	3	4	3	3	2	6	5	4	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung $F:L\to M$.
2. Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
3. Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen

   $a_1,\dots ,a_k.$

4. Ein Ring $R$.
5. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
6. Die Gaußklammer einer rationalen Zahl $x$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Ordnungsrelation und der Addition auf $\mathbb{N}$.
2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
3. Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe $G$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$(a+b{)}^3$

mithilfe der ersten binomischen Formel und des Distributivgesetzes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

$p$ $q$ $?$ w w f w f f f w w f f f

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.

1. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
2. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht.

Aufgabe * (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Die Kinder sitzen in einem Stuhlkreis mit Stühlen, die von $1$ bis $10$ durchnummeriert sind. Sie denken sich die folgende feste Wechselvorschrift aus, die durch die folgende Wertetabelle festgelegt wird.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$F(n)$	$2$	$9$	$6$	$5$	$10$	$1$	$8$	$7$	$3$	$4$

Bei einem Wechselvorgang muss also das Kind, das auf dem Stuhl mit der Nummer $n$ sitzt, auf den Stuhl mit der Nummer $F(n)$ hinüberwechseln. Ein Wechselvorgang wird dadurch eingeleitet, dass Frau Maier-Sengupta in die Hände klatscht.

1. Mustafa Müller sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer $8$. Auf welchem Stuhl sitzt er, nachdem Frau Maier-Sengupta dreimal in die Hände geklatscht hat.
2. Lucy Sonnenschein sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer $9$. Auf welchem Stuhl sitzt sie, nachdem Frau Maier-Sengupta achtmal in die Hände geklatscht hat.
3. Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit sowohl Mustafa als auch Lucy wieder auf ihren Ausgangsstühlen sitzen.
4. Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit alle Kinder zum ersten Mal wieder auf ihrem Ausgangsstuhl sitzen.
5. Beschreibe durch eine Wertetabelle die Gesamtwechselvorschrift, wenn Frau Maier-Sengupta $973$-mal in die Hände klatscht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $G$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Durchschnitt“ auf der Potenzmenge $𝔓(G)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Differenz und endliche Mengen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis  $n\ge 2$  nur ein- und zweistellige Zahlen auftreten.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von $1728$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es gibt $24$ Schokoriegel und $16$ Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $z$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $z$ ist teilerfremd zu $10$.
2. $z$ ist teilerfremd zu $10^k$ für ein  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$. 
3. $z$ ist teilerfremd zu $10^k$ für jedes  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$. 
4. Die Endziffer von $z$ im Zehnersystem ist $1,3,7$ oder $9$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite $255$ und $561$ (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite $357$ und $595$ machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper $K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für  $x\ge 3$  die Beziehung

$x^2+(x+1{)}^2\ge (x+2{)}^2$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Vergleiche im Fünfersystem die beiden Brüche

$\frac{431}{243}\text{ und }\frac{303}{204}.$

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei

$f:K⟶K$

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. $f$ ist genau dann streng wachsend, wenn $f^{-1}$ streng wachsend ist.
2. $f$ ist genau dann streng fallend, wenn $f^{-1}$ streng fallend ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv. Zeige durch Induktion nach $i$, dass man die Restfolgenglieder $r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest

$10^{i}a=xb+r_{-i}$

erhalten kann.