Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/8/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	1	7	6	5	8	1	3	2	1	5	2	3	3	2	4	1	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie ${}5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren ${}:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Berechne ${}999^{2}$ mit Hilfe einer binomischen Formel.

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.

1. Die ${}n$-te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch nur aus diesem Geschlecht besteht.
2. Die ${}n$-te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

${}[n]=\{0,1,2,\ldots ,n\}\,.$

Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ und jedem ${}0\leq k\leq n$ seien die Abbildungen

$D_{k}\colon [n]\longrightarrow [n+1]$

durch

${}D_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j<k,\\j+1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

und die Abbildungen

$S_{k}\colon [n+1]\longrightarrow [n]$

durch

${}S_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j\leq k,\\j-1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

$D_{3}\colon [4]\longrightarrow [5].$

b) Erstelle eine Wertetabelle für

$S_{3}\colon [6]\longrightarrow [5].$

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

${}j$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}\varphi (j)$	${}0$	${}2$	${}2$	${}4$	${}5$	${}5$

gegebene Abbildung

$\varphi \colon [5]\longrightarrow [5]$

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten ${}D_{k}$ und ${}S_{i}$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige mittels vollständiger Induktion für ${}n\geq 1$ die Formel

${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Addition und endliche Mengen.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Finde die Primfaktorzerlegung von

$5\cdot 41+6\cdot 82+7\cdot 123.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Gabi Hochster möchte sich die Fingernägel ihrer linken Hand (ohne den Daumennagel) lackieren, wobei die drei Farben ${}B,G,R$ zur Verfügung stehen. Sie möchte nicht, dass zwei benachbarte Finger die gleiche Farbe bekommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die ein Maximum besitze. Zeige, dass ${}T$ auch ein Minimum besitzt.

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Vergleiche die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer ${}n$-elementigen Menge in eine ${}n+1$-elementige Menge mit der Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer ${}n+1$-elementigen Menge in eine ${}n$-elementige Menge in den folgenden Fällen.

a) ${}n=1$,

b) ${}n=2$,

c) ${}n=3$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für zwei von ${}0$ verschiedene ganze Zahlen ${}x,y$ auch das Produkt ${}x\cdot y$ von ${}0$ verschieden ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für je zwei natürliche Zahlen ${}a,b\in \mathbb {N}$ aus

$a{|}b\,\,{\text{ und }}\,\,b{|}a$

die Gleichheit ${}a=b$ folgt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Addition auf ${}\mathbb {Q}$ wohldefiniert ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}x\in K$, ${}x\neq 0$ ein Element. Erläutere, warum es sinnvoll ist, für das inverse Element zu ${}x$ die Bezeichnung ${}x^{-1}$ zu verwenden.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von ${}{\frac {1}{84}}$, das ein Dezimalbruch ist.