Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/12/Klausur mit Lösungen/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleneunzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Ebene} {} im $K^n$.

}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.

}{Die Äquivalenzrelation $\sim_H$ zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einer kommutativen Gruppe.

}{Ein \stichwort {normiertes} {} Polynom.

}{Der Ausdruck
\mathl{b^q}{} zu
\mathl{b \in \R_+}{} und
\mathl{q \in \Q}{.}

}{Die \stichwort {bedingte Wahrscheinlichkeit} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M,P)}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Unter einer Ebene versteht man einen \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ \subseteq }{K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} {P + K v + K w }
{ =} { { \left\{ P+sv+tw \mid s, t \in K \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit zwei Vektoren
\mathl{v,w \in K^n}{,} die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt
\mathl{P \in K^n}{.} }{Die Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M }
{ =} { E_{ n } }
{ =} { M \circ A }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt die inverse Matrix von $M$. }{Die Äquivalenzrelation $\sim_H$ ist auf $G$ durch
\mathl{x \sim_H y}{,} falls
\mathl{x-y \in H}{,} definiert. }{Ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + 1 \cdot X^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt normiert. }{Zu
\mathl{b \in \R_+}{} und
\mathl{q \in \Q}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{ { \frac{ r }{ s } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{s > 0}{}} {} {} setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^q }
{ =} { b^{ { \frac{ r }{ s } } } }
{ \defeq} { \sqrt[s] {b^r} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(B) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man zu jedem Ereignis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E {{|}} B) }
{ =} { { \frac{ P(E \cap B) }{ P(B) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die bedingte Wahrscheinlichkeit von $E$ unter der Bedingung $B$. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.}{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Der Satz über die Verteilung bei der $n$-fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen in $K$. Dann hat die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} mit den $m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} von links mit $M$ folgende Wirkung. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$. }{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$. }{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}). }}{Ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.}{Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte $0$ und $1$ annehmen kann und bei dem der Wert $1$ die Wahrscheinlichkeit $p$ besitzt. Dann ist die Verteilung auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{,} die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der $n$-fachen \zusatzklammer {unabhängigen} {} {} Hintereinaderausführung des Experimentes $k$-fach das Ereignis $1$ eintritt, durch die \definitionsverweis {Binomialverteilung}{}{} zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegeben.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2 } {.}

}
{

Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {I \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x +3y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,-w =0} { }

\mathdisp {II \, \, \, \, \, \, 4x +2y +2z + 5w =0} { . }
Es ist
\mathdisp {III=II - 2 \cdot I \, \, \, \, \, \, -4y +2z + 7w =0} { . }
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.

Wir wählen
\mathl{w=0}{} und
\mathl{z=2}{.} Dann ist
\mathl{y=1}{} nach III und nach I ist
\mathl{x= - { \frac{ 3 }{ 2 } }}{.} Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix}} { }
eine Lösung.

Wir wählen jetzt
\mathl{w=1}{} und
\mathl{z=0}{.} Dann ist
\mathl{y= { \frac{ 7 }{ 4 } }}{} nach III und nach I ist
\mathl{x= - { \frac{ 17 }{ 8 } }}{.} Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang $2$ besitzt \zusatzklammer {was aus der Stufengestalt ablesbar ist} {} {,} ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
\mathdisp {{ \left\{ a \begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \R \right\} }} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\Q$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

}
{Geraden/Q^2/Lösungsverhalten/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei $B$ eine $n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

}
{

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_p}{} des $K^p$ nachweisen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( A \circ B \right) } { \left( e_k \right) } }
{ =} { A(B(e_k)) }
{ =} {A { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} e_j \right) } }
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} e_i \right) } }
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk} \right) } e_i }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } c_{ik} e_i }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Dabei sind die Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik} }
{ =} {\sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gerade die Einträge in der \definitionsverweis {Produktmatrix}{}{}
\mathl{A \circ B}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}

}
{

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x-4y+3z }
{ =} { 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-5y+6z }
{ =} { 3 }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x-y+4z }
{ =} { 5 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist
\mathl{E \cap F \cap G}{.} Es ist $-7I+5II$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y +9z }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mathl{-2 I+5III}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y +14 z }
{ =} { 21 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 z }
{ =} { 20 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} {4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { - { \frac{ 35 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( 2+4y-3z \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( -10 - 4 \cdot { \frac{ 35 }{ 3 } } \right) } }
{ =} { -2 - 4 \cdot { \frac{ 7 }{ 3 } } }
{ =} { - { \frac{ 34 }{ 3 } } }
} {}{}{.} Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E \cap F \cap G }
{ =} { \left \{ \left( - { \frac{ 34 }{ 3 } } , \, - { \frac{ 35 }{ 3 } } , \, 4 \right) \right\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der Durchschnitt
\mathl{E \cap F}{} wird durch das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x-4y+3z }
{ =} { 2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y +9z }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben. Die Lösungsmenge ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} { E \cap F }
{ =} { { \left\{ \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } -3z , \, { \frac{ 1 }{ 3 } } -3z , \, z \right) \mid z \in \Q \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} {4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich dabei der einzige Punkt aus
\mathl{E \cap F \cap G}{.} Somit ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E \cap F \setminus E \cap F \cap G }
{ =} { { \left\{ \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } -3z , \, { \frac{ 1 }{ 3 } } -3z , \, z \right) \mid z \in \Q , \, z \neq 4 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass die folgende Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 6 \text{ ein Teiler von } x-y \text{ ist}} { . }

}
{

Es ist $6$ ein Teiler von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {x-x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was die Reflexivität bedeutet. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies bedeutet, dass $6$ ein Teiler von
\mathl{x-y}{} ist, was wiederum bedeutet, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y }
{ =} { 6 \cdot c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem gewissen
\mathl{c \in \Z}{} ist. Durch Multiplikation mit $-1$ erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-x }
{ =} { - (x-y) }
{ =} { 6 \cdot (- c) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist $6$ auch ein Teiler von
\mathl{y-x}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \sim }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \sim }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y }
{ =} { 6c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-z }
{ =} {6 d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit gewissen
\mathl{c,d \in \Z}{.} Insgesamt ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-z }
{ =} {(x-y) +(y-z) }
{ =} {6c+6d }
{ =} {6 (c+d) }
{ } { }
} {}{}{,} so dass auch
\mathl{x-z}{} ein Vielfaches von $6$ ist. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \sim }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{

Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mathl{x\neq 0}{,} das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Damit ist
\mathl{1=xx^{-1}\in I}{} und damit
\mathl{I=R}{.}

Sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} $Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mathl{1 \in Rx}{} ist. Das bedeutet also
\mathl{1=x r}{} für ein
\mathl{r \in R}{,} so dass $x$ eine Einheit ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Löse das folgende \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Z/(7)}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Das inverse Element zu $3$ in $\Z/(7)$ ist $5$, somit ist in
\mathl{II'= II- 2 \cdot 5 I=II +4 I}{} die Variable $x$ eliminiert. Dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4y }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x+6y }
{ =} { 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x }
{ =} { 6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die einzige Lösung ist also
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\2 \end{pmatrix}}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} $K$ enthalte die Wurzeln \mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {.} Zeige, dass $K$ auch
\mathl{\sqrt[21]{2}}{} enthält.

}
{

Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot 7 -2 \cdot 3 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erhält man durch Division durch $21$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } -2 \cdot { \frac{ 1 }{ 7 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 21 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\sqrt[21]{2} }
{ =} { 2^{ { \frac{ 1 }{ 21 } } } }
{ =} { 2^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } -2 \cdot { \frac{ 1 }{ 7 } } } }
{ =} { 2^{ \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot 2^{-2 \cdot { \frac{ 1 }{ 7 } } } }
{ =} { 2^{ \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \left( 2^{ \frac{ 1 }{ 7 } } \right) }^{-2} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sqrt[3]{2} \cdot { \left( \sqrt[7]{2} \right) }^{-2} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Da nach Voraussetzung der Körper die beiden Zahlen \mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {} enthält, muss er auch das inverse Element
\mathl{{ \left( \sqrt[7]{2} \right) }^{-1}}{} und somit auch das angegebene Produkt enthalten.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n \text{ eine Primzahl ist} \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. \aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_{117}}{} und
\mathl{x_{127}}{.} } {Konvergiert die Folge in $\Q$? }

}
{

\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_{117} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da $117$ keine Primzahl ist, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_{127} }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da $127$ eine Primzahl ist. } {Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert $1$ und unendlich oft den Wert $0$ annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen \zusatzklammer {beispielsweise die geraden Zahlen $\neq 2$} {} {} gibt, die keine Primzahlen sind. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.

}
{

Wir betrachten zusätzlich die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 6 }{ 7 } } \cdots \cdot { \frac{ 2n }{ 2n+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch einen Faktor
\mathl{<1}{} ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach Korollar 47.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen $x$ bzw. $y$. Die Produktfolge ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_ny_n }
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } } \right) } { \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 6 }{ 7 } } \cdots \cdot { \frac{ 2n }{ 2n+1 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 2 }{ 3 } }\cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdots { \frac{ 2n }{ 2n+1 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2n+1 } } }
{ } { }
} {} {}{.} Diese Folge konvergiert gegen $0$, somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xy }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (2). Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n} }
{ >} {x_{n} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} da man die beteiligten $n$ Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \geq} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Beweise den Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.

}
{

Sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n } }
{ >} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ >} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} oder mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ <} { -\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für
\mathl{{ \frac{ \epsilon }{ 2 } }}{} gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n } }
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einem $x_n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ >} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter Verwendung von Fakt *****  (8) die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_m }
{ =} { x_n + x_m -x_n }
{ \geq} { x_n - \betrag { x_m -x_n } }
{ \geq} {\epsilon- { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ =} {{ \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
} {}{}{.} Dieses wählen wir als $\delta$.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

}
{

Für die $2^{n}$ Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{2^n +1 , \ldots , 2^{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k} }
{ \geq} { \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{2^{n+1} } }
{ =} { 2^n \frac{1}{2^{n+1} } }
{ =} { \frac{1}{2} }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k} }
{ =} {1+ \sum_{i = 0}^n \left( \sum_{k = 2^{i} +1 }^{ 2^{i+1} } \frac{1}{k} \right)}
{ } { }
{ \geq} {1 + (n+1) \frac{1}{2} }
{ } { }
} {}{}{.} Damit ist die Folge der Partialsummen \definitionsverweis {unbeschränkt}{}{} und kann nach Lemma 44.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) nicht \definitionsverweis {konvergent}{}{} sein.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}523 \dotso} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0,523 }
{ =} { { \frac{ 523 }{ 1000 } } }
{ \leq} { x }
{ <} {0,524 }
{ =} { { \frac{ 524 }{ 1000 } } }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1000 }{ 524 } } }
{ <} { { \frac{ 1 }{ x } } }
{ \leq} { { \frac{ 1000 }{ 523 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Divisionen links und rechts führen auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1000 }{ 524 } } }
{ =} { 1,90 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1000 }{ 523 } } }
{ =} { 1,912 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {1,9 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die zweite Nachkommaziffer ist $0$ oder $1$, darüber hinaus kann man keine Aussage machen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Beweise den \stichwort {Satz von Vieta} {.}

}
{

Aufgrund von Satz 49.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ =} { { \frac{ \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2 }
{ =} { { \frac{ - \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_1+x_2 }
{ =} { { \frac{ \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } + { \frac{ - \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ \sqrt{ p^2 -4q }-p - \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ - 2p }{ 2 } } }
{ =} { -p }
} {} {}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_1 \cdot x_2 }
{ =} { { \frac{ \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } \cdot { \frac{ - \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \left( \sqrt{ p^2 -4q }-p \right) } { \left( - \sqrt{ p^2 -4q }-p \right) } }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ - p^2+4 q +p^2 }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 4 q }{ 4 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { q }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {-6 X^{9}-5X^8 -4X^7+ { \frac{ 1 }{ 9 } } X^6 + X^2 +X }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^6$.

}
{

Der Grad ist $9$, der Leitkoeffizient ist $-6$, der Leitterm ist
\mathl{-6 X^{9}}{} und der Koeffizient zu $X^6$ ist ${ \frac{ 1 }{ 9 } }$.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3+4X^2+3X+4 }
{ =} { { \left( 3X^2+2X+1 \right) } 2 X + X +4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+3+2)}
{

Aus den Zahlen
\mathl{\{1 , \ldots , n \}}{} wird zufällig eine Zahl ausgewählt. \aufzaehlungdrei{Erstelle in Abhängigkeit von $n$ eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist. }{Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton? }{Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn $n$ gegen unendlich geht? }

}
{

\aufzaehlungdrei{Zwischen \mathkor {} {1} {und} {n} {} gibt es
\mathl{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{} Quadratzahlen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p(n) }
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Folge
\mathl{p(n)}{} ist weder wachsend noch fallend. Wenn $n+1$ keine Quadratzahl ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor }
{ =} {\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{p(n+1) }
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor }{ n+1 } } }
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n+1 } } }
{ <} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n } } }
{ =} { p(n) }
} {} {}{.} Wenn hingegen $n+1$ eine Quadratzahl ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor }
{ =} {\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{p(n+1) }
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor }{ n+1 } } }
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor +1 }{ n+1 } } }
{ >} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n } } }
{ =} { p(n) }
} {} {}{,} wobei sich die Abschätzung unmittelbar aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ >} { \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt. }{Die Folge konvergiert gegen $0$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \leq} { p(n) }
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n } } }
{ \leq} {{ \frac{ \sqrt{n} }{ n } } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } } }
} {}{}{.} Da
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }}{} eine Nullfolge ist, folgt mit dem Quetschkriterium, dass auch
\mathl{p(n)}{} eine Nullfolge ist. }

}