Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 4 3 2 5 3 3 3 3 2 5 5 3 3 3 2 3 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Ebene im .
  2. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .
  3. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe.
  4. Ein normiertes Polynom.
  5. Der Ausdruck zu und .
  6. Die bedingte Wahrscheinlichkeit zu einer Teilmenge in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Unter einer Ebene versteht man einen affinen Unterraum der Form

    mit zwei Vektoren , die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt .

  2. Die Matrix mit

    heißt die inverse Matrix von .

  3. Die Äquivalenzrelation ist auf durch , falls , definiert.
  4. Ein Polynom der Form

    heißt normiert.

  5. Zu und mit () setzt man
  6. Falls nennt man zu jedem Ereignis die Zahl

    die bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
  2. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  3. Der Satz über die Verteilung bei der -fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.
    1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
    2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
    3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
  2. Ein von verschiedenes Polynom vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
  3. Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte und annehmen kann und bei dem der Wert die Wahrscheinlichkeit besitzt. Dann ist die Verteilung auf , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der -fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes -fach das Ereignis eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Lösung

Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

Es ist

Damit haben wir Stufengestalt erreicht.

Wir wählen und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist

eine Lösung.

Wir wählen jetzt und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist

eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang besitzt (was aus der Stufengestalt ablesbar ist), ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.


Lösung Geraden/Q^2/Lösungsverhalten/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Lösung

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist

Dabei sind die Koeffizienten

gerade die Einträge in der Produktmatrix .


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte .


Lösung

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist . Es ist gleich

und gleich

Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt

also

Somit ist

und

Es ist also

Der Durchschnitt wird durch das lineare Gleichungssystem

beschrieben. Die Lösungsmenge ist

Für

ergibt sich dabei der einzige Punkt aus . Somit ist insgesamt


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ist:


Lösung

Es ist ein Teiler von

daher ist , was die Reflexivität bedeutet. Sei . Dies bedeutet, dass ein Teiler von ist, was wiederum bedeutet, dass

mit einem gewissen ist. Durch Multiplikation mit erhält man

Also ist auch ein Teiler von und somit ist , was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich und . Somit ist

und

mit gewissen . Insgesamt ergibt sich

so dass auch ein Vielfaches von ist. Also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Lösung

Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .

Sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , so dass eine Einheit ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper .


Lösung

Das inverse Element zu in ist , somit ist in die Variable eliminiert. Dies ergibt

Somit ist

und aus

ergibt sich

und somit

Die einzige Lösung ist also .


Aufgabe (3 Punkte)

Ein angeordneter Körper enthalte die Wurzeln und . Zeige, dass auch enthält.


Lösung

Aus

erhält man durch Division durch die Gleichung

Somit ist

Da nach Voraussetzung der Körper die beiden Zahlen und enthält, muss er auch das inverse Element und somit auch das angegebene Produkt enthalten.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Die Folge sei durch

definiert.

  1. Bestimme und .
  2. Konvergiert die Folge in ?


Lösung

  1. Es ist , da keine Primzahl ist, und , da eine Primzahl ist.
  2. Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert und unendlich oft den Wert annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen (beispielsweise die geraden Zahlen ) gibt, die keine Primzahlen sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.


Lösung

Wir betrachten zusätzlich die Folge

Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch einen Faktor ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach Korollar 47.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen bzw. . Die Produktfolge ist

Diese Folge konvergiert gegen , somit ist

nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (2). Ferner ist

da man die beteiligten Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist

und daher ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.


Lösung

Sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit

gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit

oder mit

Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für gibt es ein derart, dass

für alle gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für und einem mit

unter Verwendung von Fakt *****  (8) die Abschätzung

Dieses wählen wir als .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Lösung

Für die Zahlen ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 44.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) nicht konvergent sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?


Lösung

Es ist

Somit ist

Die Divisionen links und rechts führen auf

und

Damit ist

die zweite Nachkommaziffer ist oder , darüber hinaus kann man keine Aussage machen.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Vieta.


Lösung

Aufgrund von Satz 49.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist

und

Daher ist

und


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Lösung

Der Grad ist , der Leitkoeffizient ist , der Leitterm ist und der Koeffizient zu ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Aus den Zahlen wird zufällig eine Zahl ausgewählt.

  1. Erstelle in Abhängigkeit von eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist.
  2. Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton?
  3. Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn gegen unendlich geht?


Lösung

  1. Zwischen und gibt es Quadratzahlen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gleich
  2. Die Folge ist weder wachsend noch fallend. Wenn keine Quadratzahl ist, so ist

    und somit ist

    Wenn hingegen eine Quadratzahl ist, so ist

    und somit ist

    wobei sich die Abschätzung unmittelbar aus

    ergibt.

  3. Die Folge konvergiert gegen . Es ist

    Da eine Nullfolge ist, folgt mit dem Quetschkriterium, dass auch eine Nullfolge ist.