Lösung
- Unter einer
Ebene
versteht man einen
affinen Unterraum
der Form
-
mit zwei Vektoren , die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt .
- Die Matrix mit
-
heißt die inverse Matrix von .
- Die Äquivalenzrelation ist auf durch , falls , definiert.
- Ein
Polynom
der Form
-
heißt normiert.
- Zu und mit
()
setzt man
-
- Falls
nennt man zu jedem Ereignis
die Zahl
-
die
bedingte Wahrscheinlichkeit
von unter der Bedingung .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
- Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
- Der Satz über die Verteilung bei der -fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.
Lösung
- Es sei ein
Körper und eine
-
Matrix
mit Einträgen in . Dann hat die
Multiplikation
mit den
-
Elementarmatrizen
von links mit folgende Wirkung.
- Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
- Multiplikation der -ten Zeile von mit .
- Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
- Ein von verschiedenes Polynom
vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
- Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte und annehmen kann und bei dem der Wert die Wahrscheinlichkeit besitzt. Dann ist die Verteilung auf , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der -fachen
(unabhängigen)
Hintereinaderausführung des Experimentes -fach das Ereignis eintritt, durch die
Binomialverteilung
zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben.
Bestimme den Kern der durch die Matrix
-
gegebenen linearen Abbildung
-
Lösung
Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
-
-
Es ist
-
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.
Wir wählen
und
.
Dann ist
nach III und nach I ist
.
Damit ist
-
eine Lösung.
Wir wählen jetzt
und
.
Dann ist
nach III und nach I ist
-
Damit ist
-
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang besitzt
(was aus der Stufengestalt ablesbar ist),
ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
-
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
Lösung Geraden/Q^2/Lösungsverhalten/Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
-
-
-
Bestimme sämtliche Punkte .
Lösung
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
-
-
-
Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist . Es ist gleich
-
und gleich
-
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt
-
also
-
Somit ist
-
und
-
Es ist also
-
Der Durchschnitt wird durch das lineare Gleichungssystem
-
-
beschrieben. Die Lösungsmenge ist
-
Für
-
ergibt sich dabei der einzige Punkt aus . Somit ist insgesamt
-
Zeige, dass die folgende Relation eine
Äquivalenzrelation
auf ist:
-
Lösung
Es ist ein Teiler von
-
daher ist
,
was die Reflexivität bedeutet. Sei
.
Dies bedeutet, dass ein Teiler von ist, was wiederum bedeutet, dass
-
mit einem gewissen ist. Durch Multiplikation mit erhält man
-
Also ist auch ein Teiler von und somit ist
,
was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich
und
.
Somit ist
-
und
-
mit gewissen . Insgesamt ergibt sich
-
sodass auch ein Vielfaches von ist. Also ist
.
Lösung
Löse das folgende
lineare Gleichungssystem
über dem
Körper
.
-
Lösung
Lösung
Die Folge sei durch
-
definiert.
- Bestimme und .
- Konvergiert die Folge in ?
Lösung
- Es ist
,
da keine Primzahl ist, und
,
da eine Primzahl ist.
- Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert und unendlich oft den Wert annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen
(beispielsweise die geraden Zahlen )
gibt, die keine Primzahlen sind.
Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
-
gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.
Lösung
Wir betrachten zusätzlich die Folge
-
Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch Multiplikation mit einem Faktor ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach
Korollar 47.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen bzw. . Die Produktfolge ist
Diese Folge konvergiert gegen , somit ist
-
nach
Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) (2).
Ferner ist
-
da man die beteiligten Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist
-
und daher ist
-
Beweise den Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
Lösung
Es sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein
derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit
-
gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit
-
oder mit
-
Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für gibt es ein derart, dass
-
für alle
gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für
und einem mit
-
unter Verwendung von
Lemma 24.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (8)
die Abschätzung
-
Dieses wählen wir als .
Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
Lösung
Für die Zahlen
ist
-
Daher ist
-
Damit ist die Folge der Partialsummen
unbeschränkt
und kann nach
Satz . (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
nicht
konvergent
sein.
Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung
-
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?
Lösung
Es ist
-
Somit ist
-
Die Divisionen links und rechts führen auf
-
und
-
Damit ist
-
die zweite Nachkommaziffer ist oder , darüber hinaus kann man keine Aussage machen.
Beweise den Satz von Vieta.
Lösung
Aufgrund von
Satz 49.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
ist
-
und
-
Daher ist
und
Bestimme für das Polynom
-
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .
Lösung
Lösung
Es ist
-
Lösung
- Zwischen
und
gibt es Quadratzahlen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gleich
-
- Die Folge ist weder wachsend noch fallend. Wenn keine Quadratzahl ist, so ist
-
und somit ist
Wenn hingegen eine Quadratzahl ist, so ist
-
und somit ist
wobei sich die Abschätzung unmittelbar aus
-
ergibt.
- Die Folge konvergiert gegen . Es ist
-
Da eine Nullfolge ist, folgt mit
dem Quetschkriterium,
dass auch eine Nullfolge ist.