Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/28/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	7	0	0	0	0	8	0	0	4	0	2	0	0	3	30

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.

1. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
2. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
3. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
4. Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.

Lösung

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

4. Offenbar können nicht die drei Punkte auf einer Seite sein. Wenn zwei Punkte auf einer Seite und ein dritter auf einer weiteren Seite wäre, so müssten bei der Bewegung die beiden gleichseitigen Punkte verbunden sein, was nicht sein kann. Es ist also noch die Möglichkeit auszuschließen, dass drei Seiten einen Punkt enthalten und die vierte nicht. Ohne Einschränkung sei auf der rechten Seite kein Punkt und die Bewegung beginnt im Punkt auf der linken Seite und läuft direkt zum Punkt auf der oberen Seite. Von diesem Punkt muss die Bewegung dann zum dritten Punkt auf der unteren Seite weitergehen. Doch dann ändert sich bei dieser Bewegung die Geschwindigkeit in Richtung der ${}x$-Koordinate nicht und die Bewegung trifft doch die rechte Seite.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}c\in K_{+}$. Zu einem positiven ${}y_{0}\in K_{+}$ betrachten wir die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die durch die Rekursionsvorschrift

${}y_{n+1}:={\frac {y_{n}+2c+{\frac {c^{2}}{y_{n}}}}{4}}\,$

definiert sei.

1. Berechne die Glieder ${}y_{1},y_{2}$ zu ${}c=5$ und ${}y_{0}=1$.
2. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ zum positiven Startwert ${}x_{0}$, der

   ${}x_{0}^{2}=y_{0}\,$

   erfülle. Zeige

   ${}y_{n}=x_{n}^{2}\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

3. Zeige, dass ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}c$ konvergiert (und zwar unabhängig davon, ob es in ${}K$ eine Quadratwurzel von ${}c$ gibt).

Lösung

1. Es ist

   ${}y_{1}={\frac {1+10+25}{4}}={\frac {36}{4}}=9\,$

   und

   ${}y_{2}={\frac {9+10+{\frac {25}{9}}}{4}}={\frac {81+90+25}{36}}={\frac {196}{36}}={\frac {49}{9}}\,.$

2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion, der Induktionsanfang ist unmittelbar durch die Beziehung ${}y_{0}=x_{0}^{2}$ für die Startglieder gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei ${}y_{n}=x_{n}^{2}$ vorausgesetzt. Es ist dann einerseits

   ${}y_{n+1}={\frac {y_{n}+2c+{\frac {c^{2}}{y_{n}}}}{4}}={\frac {x_{n}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}}{4}}\,$

   und andererseits

   ${}x_{n+1}^{2}={\left({\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\right)}^{2}={\frac {x_{n}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}}{4}}\,,$

   also ist

   ${}y_{n+1}=x_{n+1}^{2}\,.$

3. Nach Satz 43.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) ist für ${}n\geq 1$

   ${}{\frac {c}{x_{n}}}\leq x_{n+1}\leq x_{n}\,$

   und daher

   ${}{\frac {c^{2}}{y_{n}}}\leq y_{n+1}\leq y_{n}\,.$

   Insbesondere ist ${}y_{n}\geq c$.

   
   

   ${}y_{n+1}-c=\,$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

$f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$. Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Lösung

Der Quotient der Periodenlängen sei

${}{\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {a}{b}}\,$

mit ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$. Also ist ${}bL_{1}=aL_{2}$. Wir behaupten, dass

${}L=bL_{1}=aL_{2}\,$

eine Periodenlänge für ${}f_{1}+f_{2}$ ist. Dies beruht auf

${}{\begin{aligned}(f_{1}+f_{2})(x+L)&=f_{1}(x+L)+f_{2}(x+L)\\&=f_{1}(x+bL_{1})+f_{2}(x+aL_{2})\\&=f_{1}(x)+f_{2}(x)\\&=(f_{1}+f_{2})(x)\end{aligned}}$

für alle ${}x\in \mathbb {R}$, da ja mit ${}L_{1}$ (bzw. ${}L_{2}$) auch jedes ganzzahlige Vielfache eine Periodenlänge von ${}f_{1}$ (bzw. von ${}f_{2}$) ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Vereinfache den Term

${\frac {{\sqrt {8}}^{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}^{\sqrt {8}}}}.$

Lösung

Es ist ${}{\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}$. Daher ist unter Verwendung der Potenzgesetze (siehe Fakt *****)

${}{\frac {{\sqrt {8}}^{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}^{\sqrt {8}}}}={\frac {{\left(2{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}^{\left(2{\sqrt {2}}\right)}}}={\frac {2^{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}{{\left({\sqrt {2}}^{2}\right)}^{\sqrt {2}}}}={\frac {2^{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}{2^{\sqrt {2}}}}=2^{\sqrt {2}}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine typische Fehlvorstellung, die man zum Zahlenstrahl haben kann. Wie kann man diese erkennen und gegebenenfalls ausräumen?

Lösung Zahlenstrahl/Fehlvorstellung/Aufgabe/Lösung