Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/5/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 5 2 3 2 4 3 3 4 3 4 2 3 7 4 3 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein affiner Unterraum .
  2. Die Elementarmatrizen.
  3. Die Antisymmetrie einer Relation auf einer Menge .
  4. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  5. Eine irrationale Zahl.
  6. Der Logarithmus zu einer reellen Basis , .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Restklassenkörper von .
  2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
  3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper, ein Ring mit und

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf dem Zahlenstrahl im Punkt . Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position befindet?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand besitzt?
  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?