Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex

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\setcounter{section}{11}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in Beispiel 11.4 das Distributivgesetz nicht gilt, wenn man die Rollen von Addition und Multiplikation vertauscht.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b \in R}{} Elemente in einem \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} $R$. Berechne
\mathdisp {(a+b) \cdot (a +2b) \cdot (a+3b)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d \in R}{} Elemente in einem \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} $R$. Berechne
\mathdisp {(ab+2d) \cdot (a^2 +4bc) \cdot (3bd+ac)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c \in R}{} Elemente in einem \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} $R$. Berechne
\mathdisp {(a+b+c)^2} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {(2+4+3) \cdot (4+5+1+2)} { }
mit und ohne Distributivgesetz.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{} und
\mathl{f , a_i, b_j \in R}{.} Zeige die folgenden Gleichungen:
\mathdisp {\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} + \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} = \sum_{k=0}^{ \max ( n,m) } ( a _{ k}+b _{ k} ) f^{ k }} { }
und
\mathdisp {{ \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} \right) } \cdot { \left( \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} \right) } = \sum_{ k = 0 }^{ n+m } c_{ k } f^{ k} \text{ mit } c_{ k} =\sum_{ r= 0}^{ k } a_{ r } b_{ k - r }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring $R$ durch Induktion über $k$, wobei der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verwendet werden darf \zusatzklammer {dabei sind
\mathl{n_1 , \ldots , n_k}{} natürliche Zahlen und
\mathl{a_{j,i} \in R}{}} {} {.}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{i_1 = 1}^{n_1} a_{1, i_1} \right) } \cdot { \left( \sum_{i_2 = 1}^{n_2} a_{2, i_2} \right) } \cdots { \left( \sum_{i_k = 1}^{n_k} a_{k, i_k} \right) } }
{ =} { \sum_{ (i_1, i_2 , \ldots , i_k) \in \{ 1 , \ldots , n_1 \} \times \{ 1 , \ldots , n_2 \} \times \cdots \times \{ 1 , \ldots , n_k \} } a_{1,i_1} \cdot a_{2,i_2} \cdots a_{k, i_k} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {} {}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 \cdot { \left( 1+1 + \cdots + 1 \right) } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist \zusatzklammer {mit einer beliebig langen Summe von Einsen} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Da man die natürlichen Zahlen zum Zählen von endlichen Mengen nimmt, es aber auch unendliche Mengen gibt, denkt sich Gabi Hochster, dass man die natürlichen Zahlen $\N$ um ein weiteres Symbol $\infty$ \zusatzklammer {sprich unendlich} {} {} erweitern sollte. Diese neue Menge bezeichnet sie mit $\N^\infty$. Sie möchte die Ordnungsstruktur, die Addition und die Multiplikation der natürlichen Zahlen auf ihre neue Menge ausdehnen, und zwar so, dass möglichst viele vertraute Rechengesetze erhalten bleiben. \aufzaehlungacht{Wie legt Gabi die Ordnung fest? }{Wie legt sie die Nachfolgerabbildung fest? Gelten die Peano-Axiome? }{Wie legt sie die Addition fest? Sie möchte ja nur mit dem einzigen neuen Symbol $\infty$ arbeiten. }{Gilt mit dieser Addition die Abziehregel? }{Zuerst denkt sie an die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 \cdot \infty }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} doch dann stellt sie fest, dass sich das mit dem Distributivgesetz beißt. Warum? }{Gabi möchte nun, dass für die neue Menge die Eigenschaften aus Satz 8.13 und aus Satz 9.4 nach wie vor gelten. Wie legt sie die Verknüpfungen fest? }{Handelt es sich bei
\mathl{\N^\infty}{} mit den Festlegungen aus Teil (6) um einen \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{?} }{Gilt die Kürzungsregel? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir rechnen mit den Zahlen
\mathl{0,1,2,\text{viele}\,\, (v)}{} nach den folgenden Verknüpfungstabellen. %Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $+$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $2$ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ $v$ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $2$ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ $v$ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 1 }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 2 }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ v }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ 1 }

\renewcommand{\azweixzwei}{ 2 }

\renewcommand{\azweixdrei}{ v }

\renewcommand{\azweixvier}{ v }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ 2 }

\renewcommand{\adreixzwei}{ v }

\renewcommand{\adreixdrei}{ v }

\renewcommand{\adreixvier}{ v }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ v }

\renewcommand{\avierxzwei}{ v }

\renewcommand{\avierxdrei}{ v }

\renewcommand{\avierxvier}{ v }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitvierxvier

und %Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\cdot$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $2$ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ $v$ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $2$ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ $v$ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ 0 }

\renewcommand{\azweixzwei}{ 1 }

\renewcommand{\azweixdrei}{ 2 }

\renewcommand{\azweixvier}{ v }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ 0 }

\renewcommand{\adreixzwei}{ 2 }

\renewcommand{\adreixdrei}{ v }

\renewcommand{\adreixvier}{ v }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ 0 }

\renewcommand{\avierxzwei}{ v }

\renewcommand{\avierxdrei}{ v }

\renewcommand{\avierxvier}{ v }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitvierxvier


Zeige, dass es sich dabei um einen \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} handelt. Gilt für diesen die \definitionsverweis {Abziehregel}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $k$-elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf $M$?

}
{} {}

Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo $G$ eine Grundschulklasse und
\mathl{M= \mathfrak {P} \, (G )}{} die möglichen \zusatzklammer {in Hinblick auf die Gastauswahl} {} {} Geburtstagsfeiern sind.




\inputaufgabe
{}
{

Mustafa Müller hat Geburtstag. Auf jeden Fall lädt er Heinz, Gabi und Lucy ein. Er überlegt sich, ob und wen er aus dem erweiterten Freundeskreis
\mathl{\{ \text{Maria}, \text{Bayar}, \text{Peter}, \text{Fritz}, \text{Silvia} \}}{} noch einladen soll. \aufzaehlungdrei{Wie viele Möglichkeiten besitzt Mustafa? }{Nach langem Überlegen erstellt Mustafa eine Wertetabelle \wertetabellefuenfausteilzeilen { Name }
{\mazeileundfuenf {\text{Maria}} { \text{Bayar}} { \text{Peter} } { \text{Fritz}} { \text{Silvia} } }
{ $?$ }
{\mazeileundfuenf {+} {+} {-} {-} {+} } Wen lädt er ein? }{Wie würde seine Wertetabelle aussehen, wenn er Bayar, Peter und Fritz einladen wollte? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {endliche Menge}{}{} mit $n$ Elementen. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{} genau $2^n$ Elemente besitzt.

}
{} {}

Zu Mengen $L,M$ wird mit
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }}{} die Menge aller Abbildungen von $L$ nach $M$ bezeichnet.


\inputaufgabe
{}
{

Sei $G$ eine Menge. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\mathfrak {P} \, (G ) \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( G , \{0,1\} \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $G$ eine Menge und
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{} ihre \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (G ) } { \mathfrak {P} \, (G ) } {T} { \complement T } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Wie lautet die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{?}

}
{} {}

Bei der folgenden Aufgabe denke man an $A=$ Mädchen der Klasse, $B=$ Jungs der Klasse.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $G$ eine Menge, die als \definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { A \uplus B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, ( G )}{} und der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{} von Teilmengen von $G$ als eine \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} auf $M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.} Betrachte den \definitionsverweis {Durchschnitt}{}{} von Teilmengen von $G$ als eine \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} auf $M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.} Zeige, dass auf $M$ durch die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq} {T }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Ordnung}{}{} gegeben ist. Zeige, dass es sich nicht um eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} handelt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{} von $M$ in die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} $\mathfrak {P} \, (M )$ geben kann.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Advent Bowl Rusch.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Advent Bowl Rusch.jpg } {} {Rush Austria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Ein Adventskranz hat vier Kerzen, wobei am ersten Advent genau eine Kerze, am zweiten Advent genau zwei Kerzen usw. brennen sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Adventskranz \anfuehrung{abzubrennen}{?} Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Kerzen, die zuvor schon angezündet waren, wieder angezündet werden sollen, und wie viele, wenn stets so viele neue Kerzen wie möglich angezündet werden?

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es seien
\mathl{a,b,c \in R}{} Elemente in einem \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} $R$. Berechne
\mathdisp {(2ac+b^2) \cdot (a +5bc) \cdot (2a+3bc)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{

Es seien
\mathl{a,b \in R}{} Elemente in einem \definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{} $R$. Zeige die Formel für die vierte Potenz,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b)^4 }
{ =} { a^4 +4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf die beiden folgenden Arten. \aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {{ \left( a+b \right) } \cdot { \left( a+b \right) }^3} { . }
} {Berechne
\mathdisp {{ \left( a+b \right) }^2 \cdot { \left( a+b \right) }^2} { . }
}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Skizziere ein Inklusionsdiagramm für sämtliche Teilmengen einer dreielementigen Menge.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Gilt für die Vereinigung von Mengen die \anfuehrung{Abziehregel}{,} d.h. kann man aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \cup C }
{ = }{B \cup C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schließen?

}
{} {}

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