Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in Beispiel 11.4 das Distributivgesetz nicht gilt, wenn man die Rollen von Addition und Multiplikation vertauscht.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
$R$. Berechne
\mathdisp {(a+b) \cdot (a +2b) \cdot (a+3b)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
$R$. Berechne
\mathdisp {(ab+2d) \cdot (a^2 +4bc) \cdot (3bd+ac)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
$R$. Berechne
\mathdisp {(a+b+c)^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {(2+4+3) \cdot (4+5+1+2)} { }
mit und ohne Distributivgesetz.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{}
und
\mathl{f , a_i, b_j \in R}{.} Zeige die folgenden Gleichungen:
\mathdisp {\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} + \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} = \sum_{k=0}^{ \max ( n,m) } ( a _{ k}+b _{ k} ) f^{ k }} { }
und
\mathdisp {{ \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} \right) } \cdot { \left( \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} \right) } = \sum_{ k = 0 }^{ n+m } c_{ k } f^{ k} \text{ mit } c_{ k} =\sum_{ r= 0}^{ k } a_{ r } b_{ k - r }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring $R$ durch Induktion über $k$, wobei der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verwendet werden darf
\zusatzklammer {dabei sind
\mathl{n_1 , \ldots , n_k}{} natürliche Zahlen und
\mathl{a_{j,i} \in R}{}} {} {.}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{i_1 = 1}^{n_1} a_{1, i_1} \right) } \cdot { \left( \sum_{i_2 = 1}^{n_2} a_{2, i_2} \right) } \cdots { \left( \sum_{i_k = 1}^{n_k} a_{k, i_k} \right) }
}
{ =} { \sum_{ (i_1, i_2 , \ldots , i_k) \in \{ 1 , \ldots , n_1 \} \times \{ 1 , \ldots , n_2 \} \times \cdots \times \{ 1 , \ldots , n_k \} } a_{1,i_1} \cdot a_{2,i_2} \cdots a_{k, i_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 \cdot { \left( 1+1 + \cdots + 1 \right) }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {mit einer beliebig langen Summe von Einsen} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Da man die natürlichen Zahlen zum Zählen von endlichen Mengen nimmt, es aber auch unendliche Mengen gibt, denkt sich Gabi Hochster, dass man die natürlichen Zahlen $\N$ um ein weiteres Symbol $\infty$
\zusatzklammer {sprich unendlich} {} {}
erweitern sollte. Diese neue Menge bezeichnet sie mit $\N^\infty$. Sie möchte die Ordnungsstruktur, die Addition und die Multiplikation der natürlichen Zahlen auf ihre neue Menge ausdehnen, und zwar so, dass möglichst viele vertraute Rechengesetze erhalten bleiben.
\aufzaehlungacht{Wie legt Gabi die Ordnung fest?
}{Wie legt sie die Nachfolgerabbildung fest? Gelten die Peano-Axiome?
}{Wie legt sie die Addition fest? Sie möchte ja nur mit dem einzigen neuen Symbol $\infty$ arbeiten.
}{Gilt mit dieser Addition die Abziehregel?
}{Zuerst denkt sie an die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 \cdot \infty
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
doch dann stellt sie fest, dass sich das mit dem Distributivgesetz beißt. Warum?
}{Gabi möchte nun, dass für die neue Menge die Eigenschaften aus
Satz 8.13
und aus
Satz 9.4
nach wie vor gelten. Wie legt sie die Verknüpfungen fest?
}{Handelt es sich bei
\mathl{\N^\infty}{} mit den Festlegungen aus Teil (6) um einen
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{?}
}{Gilt die Kürzungsregel?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir rechnen mit den Zahlen
\mathl{0,1,2,\text{viele}\,\, (v)}{} nach den folgenden Verknüpfungstabellen.
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $+$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $0$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $1$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $v$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $0$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $1$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $v$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 1 }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 2 }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ v }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 1 }
\renewcommand{\azweixzwei}{ 2 }
\renewcommand{\azweixdrei}{ v }
\renewcommand{\azweixvier}{ v }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 2 }
\renewcommand{\adreixzwei}{ v }
\renewcommand{\adreixdrei}{ v }
\renewcommand{\adreixvier}{ v }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ v }
\renewcommand{\avierxzwei}{ v }
\renewcommand{\avierxdrei}{ v }
\renewcommand{\avierxvier}{ v }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
und %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\cdot$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $0$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $1$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $v$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $0$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $1$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $v$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 0 }
\renewcommand{\azweixzwei}{ 1 }
\renewcommand{\azweixdrei}{ 2 }
\renewcommand{\azweixvier}{ v }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 0 }
\renewcommand{\adreixzwei}{ 2 }
\renewcommand{\adreixdrei}{ v }
\renewcommand{\adreixvier}{ v }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ 0 }
\renewcommand{\avierxzwei}{ v }
\renewcommand{\avierxdrei}{ v }
\renewcommand{\avierxvier}{ v }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
Zeige, dass es sich dabei um einen
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
handelt. Gilt für diesen die
\definitionsverweis {Abziehregel}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine $k$-elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf $M$?
}
{} {}
Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo $G$ eine Grundschulklasse und
\mathl{M= \mathfrak {P} \, (G )}{} die möglichen
\zusatzklammer {in Hinblick auf die Gastauswahl} {} {}
Geburtstagsfeiern sind.
\inputaufgabe
{}
{
Mustafa Müller hat Geburtstag. Auf jeden Fall lädt er Heinz, Gabi und Lucy ein. Er überlegt sich, ob und wen er aus dem erweiterten Freundeskreis
\mathl{\{ \text{Maria}, \text{Bayar}, \text{Peter}, \text{Fritz}, \text{Silvia} \}}{} noch einladen soll.
\aufzaehlungdrei{Wie viele Möglichkeiten besitzt Mustafa?
}{Nach langem Überlegen erstellt Mustafa eine Wertetabelle
\wertetabellefuenfausteilzeilen { Name }
{\mazeileundfuenf {\text{Maria}} { \text{Bayar}} { \text{Peter} } { \text{Fritz}} { \text{Silvia} } }
{ $?$ }
{\mazeileundfuenf {+} {+} {-} {-} {+} }
Wen lädt er ein?
}{Wie würde seine Wertetabelle aussehen, wenn er Bayar, Peter und Fritz einladen wollte?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Menge}{}{}
mit $n$ Elementen. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{} genau $2^n$ Elemente besitzt.
}
{} {}
Zu Mengen $L,M$ wird mit
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) }}{} die Menge aller Abbildungen von $L$ nach $M$ bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge. Stifte eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathdisp {\mathfrak {P} \, (G ) \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( G , \{0,1\} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge und
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{} ihre
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (G ) } { \mathfrak {P} \, (G )
} {T} { \complement T
} {,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist. Wie lautet die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{?}
}
{} {}
Bei der folgenden Aufgabe denke man an $A=$ Mädchen der Klasse, $B=$ Jungs der Klasse.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine Menge, die als
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { A \uplus B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, ( G )}{} und der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
von Teilmengen von $G$ als eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
auf $M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.}
Betrachte den
\definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
von Teilmengen von $G$ als eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
auf $M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.}
Zeige, dass auf $M$ durch die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq} {T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gegeben ist. Zeige, dass es sich nicht um eine
\definitionsverweis {totale Ordnung}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{} von $M$ in die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} $\mathfrak {P} \, (M )$ geben kann.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Advent Bowl Rusch.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Advent Bowl Rusch.jpg } {} {Rush Austria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Ein Adventskranz hat vier Kerzen, wobei am ersten Advent genau eine Kerze, am zweiten Advent genau zwei Kerzen usw. brennen sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Adventskranz \anfuehrung{abzubrennen}{?} Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Kerzen, die zuvor schon angezündet waren, wieder angezündet werden sollen, und wie viele, wenn stets so viele neue Kerzen wie möglich angezündet werden?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathl{a,b,c \in R}{} Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
$R$. Berechne
\mathdisp {(2ac+b^2) \cdot (a +5bc) \cdot (2a+3bc)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
$R$. Zeige die Formel für die vierte Potenz,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b)^4
}
{ =} { a^4 +4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf die beiden folgenden Arten.
\aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {{ \left( a+b \right) } \cdot { \left( a+b \right) }^3} { . }
} {Berechne
\mathdisp {{ \left( a+b \right) }^2 \cdot { \left( a+b \right) }^2} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Skizziere ein Inklusionsdiagramm für sämtliche Teilmengen einer dreielementigen Menge.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Gilt für die Vereinigung von Mengen die \anfuehrung{Abziehregel}{,} d.h. kann man aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \cup C
}
{ = }{B \cup C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schließen?
}
{} {}
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