Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen

$1,2,3,\ldots ,20.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ${}n^{2}-1$ ungerade oder aber durch ${}8$ teilbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ${}n^{2}-n$ stets gerade ist.

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen ${}25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge von ${}n$ Äpfeln und ${}P$ eine Menge von ${}t$ Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn ${}t$ ein Teiler von ${}n$ ist.

Aufgabe

Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl ${}n$ durch eine natürliche Zahl ${}t$ mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen und es gelte, dass ${}bc$ ein Vielfaches von ${}ac$ sei. Ferner sei ${}c\neq 0$. Zeige, dass dann ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}a\leq b$ natürliche Zahlen, die beide von ${}c$ geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz ${}b-a$ von ${}c$ geteilt wird.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}r$ sei die kleinste natürliche Zahl mit ${}r^{2}\geq n$. Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung ${}n=ab$ stets ${}a\leq r$ oder ${}b\leq r$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}a,b$ positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von ${}a$ und der Menge aller Vielfachen von ${}b$.

Aufgabe *

Es seien drei verschiedene Zahlen ${}a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt ${}a\cdot b\cdot c$ minimal?

Aufgabe

Es sei

${}Z=\{1,2,4,8,16,\ldots \}\,$

die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow Z$

derart, dass ${}k\leq n$ genau dann gilt, wenn ${}\varphi (k)$ die Zahl ${}\varphi (n)$ teilt.

Aufgabe

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.

Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in Lemma 12.3 unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche verhalten.

Aufgabe

1. Für jede natürliche Zahl ${}a$ gilt ${}{\frac {a}{1}}=a$ und bei ${}a\neq 0$ gilt auch ${}{\frac {a}{a}}=1$.
2. Für jede natürliche Zahl ${}a\neq 0$ gilt ${}{\frac {0}{a}}=0$.
3. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,c$ und es ist (bei $a,b\neq 0$)

   ${}{\frac {c}{a}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {c}{b}}\,.$

4. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$ und es ist (bei $a,c\neq 0$)

   ${}{\frac {bd}{ac}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {d}{c}}\,.$

5. Gilt ${}a\,{|}\,b$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jede natürliche Zahl ${}c$, und es ist (bei ${}a,c\neq 0$)

   ${}{\frac {bc}{ac}}={\frac {b}{a}}\,$

6. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,{\left(rb+sc\right)}$ für beliebige natürliche Zahlen ${}r,s$, und es ist (bei $a\neq 0$)

   ${}{\frac {rb+sc}{a}}=r{\frac {b}{a}}+s{\frac {c}{a}}\,.$

Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu Lemma 10.12 sehen.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es sei ${}b$ ein Teiler von ${}a$. Dann ist

   ${}b\cdot c\cdot {\frac {a}{b}}=c\cdot a\,$

   für ${}b\neq 0$.

2. Es sei ${}b$ ein Teiler von ${}a$ und ${}d$ ein Teiler von ${}c$ mit ${}b,d\neq 0$. Dann ist

   ${}{\frac {ac}{bd}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\,.$

   Insbesondere gelten, wenn ${}b$ ein Teiler von ${}a$ ist, die Beziehungen (mit ${}b,c\neq 0$)

   ${}{\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}\,$

   und

   ${}{\frac {ac}{b}}={\frac {a}{b}}\cdot c\,.$

3. Es sei ${}b\neq 0$ ein Teiler von ${}a\neq 0$ und ${}a$ ein Teiler von ${}bc$. Dann ist ${}{\frac {a}{b}}$ ein Teiler von ${}c$ und es ist

   ${}{\frac {\,\,c\,\,}{\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}}={\frac {cb}{a}}\,.$

Aufgabe *

Es gibt ${}24$ Schokoriegel und ${}16$ Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}105$ und ${}150$.

Aufgabe

Es sei ${}t$ ein Teiler von ${}n$. Was ist der größte gemeinsame Teiler von ${}t$ und ${}n$ und was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}t$ und ${}n$?

Aufgabe

Berechne den Ausdruck

$n^{2}+n+41$

für ${}n=0,1,2,\ldots$. Handelt es sich dabei um Primzahlen?

Aufgabe

Zeige, dass man jede natürliche Zahl ${}n\geq 12$ als Summe

${}n=a+b\,$

schreiben kann, wobei sowohl ${}a$ als auch ${}b$ zusammengesetzte Zahlen sind.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1025$.

Aufgabe *

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl ${}N$ der Form ${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}+1$, die keine Primzahl ist, wobei ${}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$ die ersten ${}r$ Primzahlen sind.

Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}+1$.

Aufgabe

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen

$2^{33}-1,\,2^{91}-1,\,2^{13}+1.$

Aufgabe *

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen ${}12,15,16,20$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n\neq 0$ eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen

${}n=ab=cd\,.$

Es sei ${}a\geq c$. Zeige, das dann ${}b\leq d$ sein muss.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}b\neq 0$ ein Teiler von ${}a$ und ${}d\neq 0$ ein Teiler von ${}c$. Zeige, dass ${}bd$ ein Teiler von ${}ad+cb$ ist und dass

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}-1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es außer ${}3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form ${}p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.