Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 12

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen




Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Aufgabe

Es sei eine Menge von Äpfeln und eine Menge von Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn ein Teiler von ist.


Aufgabe

Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.


Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen und es gelte, dass ein Vielfaches von sei. Ferner sei . Zeige, dass dann ein Vielfaches von ist.


Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen, die beide von geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz von geteilt wird.


Aufgabe

Es sei eine natürliche Zahl und sei die kleinste natürliche Zahl mit . Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung stets oder gilt.


Aufgabe

Es seien positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von und der Menge aller Vielfachen von .


Aufgabe *

Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?


Aufgabe

Es sei

die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion

derart, dass genau dann gilt, wenn die Zahl teilt.


Aufgabe

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.


Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in Lemma 12.3 unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche verhalten.

Aufgabe

  1. Für jede natürliche Zahl gilt und bei gilt auch .
  2. Für jede natürliche Zahl gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch und es ist (bei )
  4. Gilt und , so gilt auch und es ist (bei )
  5. Gilt , so gilt auch für jede natürliche Zahl , und es ist (bei )
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige natürliche Zahlen , und es ist (bei )


Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu Lemma 10.12 sehen.

Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es sei ein Teiler von . Dann ist

    für .

  2. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von mit . Dann ist

    Insbesondere gelten, wenn ein Teiler von ist, die Beziehungen ()

    und

  3. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Dann ist ein Teiler von und es ist


Aufgabe *

Es gibt Schokoriegel und Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?


Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Aufgabe

Es sei ein Teiler von . Was ist der größte gemeinsame Teiler von und und was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von und ?


Aufgabe

Berechne den Ausdruck

für . Handelt es sich dabei um Primzahlen?


Aufgabe

Zeige, dass man jede natürliche Zahl als Summe

schreiben kann, wobei sowohl als auch zusammengesetzte Zahlen sind.


Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe *

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Aufgabe

Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.


Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen


Aufgabe *

Man gebe zwei Primfaktoren von an.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen

Es sei . Zeige, das dann sein muss.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Zeige, dass ein Teiler von ist und dass

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen


Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.



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