Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 10

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ordne die folgenden natürlichen Zahlen gemäß ihrer Größe.

$2^{10},\,10^{3},\,50\cdot 20+13,\,33^{2},\,3\cdot 334,\,9^{3}+7^{3},\,1005,\,2\cdot 5\cdot 101,\,31^{2},\,3^{3}\cdot 37,\,11\cdot 10\cdot 9.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Erstelle das „kleine Einsgrößergleicheins“.

Aufgabe

Für natürliche Zahlen gelte ${}a\geq b$ und ${}b>c$. Zeige ${}a>c$.

Aufgabe

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$. Zeige, dass ${}a=b$ oder ${}a\geq b+1$ gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}k,n$ natürliche Zahlen. Zeige, dass ${}k\leq n$ genau dann gilt, wenn

${}\{1,\ldots ,k\}\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}\,$

gilt.

Aufgabe *

Zeige, dass für jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{3}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine endliche total geordnete Menge. Es sei ${}I=\{1,2,\ldots ,n\}$ eine endliche Indexmenge. Definiere auf der Produktmenge

${}A^{I}=\underbrace {A\times \cdots \times A} _{n{\text{-mal}}}\,$

die „lexikographische Ordnung“, und zeige, dass es sich dabei ebenfalls um eine totale Ordnung handelt.

Aufgabe

Modelliere Aussagen wie „diese Person ist größer (schwerer, intelligenter) als jene Person“ mit Hilfe von Abbildungen und der Größergleich-Relation auf den natürlichen Zahlen. Besteht eine Ordnungsrelation auf der Personenmenge?

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme die minimale Potenzzahl echt oberhalb von ${}1000000$ und die maximale Potenzzahl echt unterhalb von ${}1000000$.

Aufgabe *

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.

1. Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
2. Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
3. Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
4. Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.

a) Vom Jahr ${}2015$ weiß man, dass ${}17$ Tage sockenzerstreut und ${}11$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

b) Vom Jahr ${}2013$ weiß man, dass ${}270$ Tage sockenzerstreut und ${}120$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {N}$ eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass ${}T$ genau dann endlich ist, wenn ${}T$ ein Maximum besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl ${}k$ die Abschätzung

${}k\leq m\,$

gilt. Zeige ferner, dass ${}T$ genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn

${}k<m\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}S$ und ${}T$ endliche Mengen und es gebe eine injektive Abbildung ${}\psi \colon S\rightarrow T$. Zeige ${}{\#\left(S\right)}\leq {\#\left(T\right)}$.

Aufgabe

Es seien ${}S$ und ${}T$ endliche Mengen. Es gebe zwei injektive Abbildungen ${}\psi \colon S\rightarrow T$ und ${}\varphi \colon T\rightarrow S$. Zeige, dass dann die beiden Mengen die gleiche Anzahl besitzen.

Aufgabe *

Berechne die Differenz mit Aufgabe *****

${|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}-{|}{|}{|}{|}.$

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\leq b\leq c$. Zeige

${}c-b\leq c-a\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$ und ${}a-b\geq c$. Zeige, dass dann ${}a\geq b+c$ ist und dass

${}(a-b)-c=a-(b+c)\,$

ist.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen mit

${}a+b=c+d\,.$

Es sei ${}a\geq c$. Zeige, dass dann ${}d\geq b$ ist und dass

${}a-c=d-b\,$

gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$.

1. Zeige

   ${}ac+bd\geq bc+ad\,.$

2. Zeige (in ${}\mathbb {N}$)

   ${}(a-b)\cdot (c-d)=ac+bd-(bc+ad)\,.$

Aufgabe

Wir zählen

${\text{ heute}},\,{\text{ morgen}},\,{\text{ übermorgen}},\,{\text{überübermorgen}},\,{\text{überüberübermorgen}},\ldots .$

Wir kennen zwar nur die Tage ab heute, wir kennen aber die Wörter

$\ldots {\text{ vorvorvorgestern}},\,{\text{ vorvorgestern}},\,{\text{ vorgestern}},\,{\text{ gestern}},$

(wenn sie sich letzlich auf einen Tag ab heute beziehen).

1. Bestimme gestern von morgen.
2. Bestimme vorvorgestern von überüberübermorgen.
3. Bestimme gestern von vorgestern von überüberüberübermorgen.
4. Ist vorgestern von morgen in diesem System benennbar?

Aufgabe *

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe *

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay ${}4$ Stunden (in Paraguay wurde es ${}4$ Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von ${}2$ auf ${}3$ vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?

Aufgabe

Bringe die folgenden Berechnungen mit Lemma 10.12 in Verbindung.

1. In der ersten Halbzeit schießt Borussia Dortmund ${}3$ Tore mehr als Bayern München. In der zweiten Halbzeit schießt Borussia Dortmund ${}4$ Tore mehr als Bayern München. Wie viele Tore schießt Borussia Dortmund insgesamt mehr als Bayern München?
2. Mustafa Müller hat ${}7$ Fußballbildchen mehr als Heinz Ngolo. Beide bekommen ${}12$ neue hinzu. Was ist jetzt die Differenz?
3. Gestern hatte Mustafa Müller mindestens so viele Fußballbildchen wie Heinz Ngolo. Heute hat Heinz Geburtstag und bekommt neue Bildchen dazu, so dass er nun mindestens so viele Bildchen wie Mustafa hat. Wie lautet die neue Differenz, wenn man die alte Differenz und die Anzahl der geschenkten Bildchen kennt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es keine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

gibt, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Es ist ${}k\geq n$ genau dann, wenn ${}\varphi (k)\leq \varphi (n)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei

$M\longrightarrow N$

eine surjektive Abbildung in eine weitere Menge ${}N$. Zeige, dass dann auch ${}N$ endlich ist, und dass für ihre Anzahl ${}n$ die Abschätzung

${}n\leq m\,$

gilt.

Die folgende Aussage verwendet, dass sich jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ eindeutig als Produkt ${}n=2^{k}u$ mit ${}k\in \mathbb {N}$ und ${}u\in \mathbb {N}$ ungerade schreiben lässt.

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Wir definieren auf ${}\mathbb {N} _{+}$ eine neue Relation ${}R$ durch folgende Vorschrift: Für zwei Zahlen ${}n,m\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}n=2^{k}t$ und ${}m=2^{\ell }u$ mit ${}t,u$ ungerade sei

$nRm{\text{ falls }}t<u{\text{ gilt oder falls zugleich }}t=u{\text{ und }}k\leq \ell {\text{ gilt}}$

(rechts wird auf die natürliche Ordnung in ${}\mathbb {N}$ Bezug genommen).

1. Zeige, dass ${}R$ eine totale Ordnung auf ${}\mathbb {N} _{+}$ ergibt und beschreibe exemplarisch diese Ordnung.
2. Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ein wohldefiniertes Element ${}n^{\star }\in \mathbb {N} _{+}$, ${}n^{\star }\neq n$, derart gibt, dass ${}nRn^{\star }$ gilt und dass es zwischen ${}n$ und ${}n^{\star }$ keine weiteren Elemente gibt (diese Formulierung ist zu präzisieren).
3. Erfüllt die Menge ${}(\mathbb {N} _{+},1,\star )$ die Dedekind-Peano-Axiome?

Bei dieser Szene ruft Mustafa: „Nicht die Oma schlagen!“

Aufgabe (2 Punkte)

Das Kasperletheater „Le Caspère“ verfügt über fünfzehn Stuhlreihen mit jeweils zwölf Sitzen. Für eine Vorstellung sind die Reihen ${}3,4,5$ von der Klasse ${}1c$ schon besetzt. Ferner sind die erste und die letzte Reihe wegen Renovierung gesperrt. Die Sitze ganz links und ganz rechts will man wegen der eingeschränkten Sicht nicht anbieten. Wie viele Sitzplätze des Theaters kommen nicht in den freien Verkauf?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen. Zeige

${}a^{2}+b^{2}\geq 2ab\,.$