Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 12/latex

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\setcounter{section}{12}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen
\mathdisp {1,2,3 , \ldots , 20} { . }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass
\mathl{n^2-1}{} \definitionsverweis {ungerade}{}{} oder aber durch $8$ \definitionsverweis {teilbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass
\mathl{n^2-n}{} stets \definitionsverweis {gerade}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen $25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge von $n$ Äpfeln und $P$ eine Menge von $t$ Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn $t$ ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl $n$ durch eine natürliche Zahl $t$ mit dem Begriff der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{} in Zusammenhang.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c}{} natürliche Zahlen und es gelte, dass
\mathl{bc}{} ein Vielfaches von $ac$ sei. Ferner sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann $b$ ein Vielfaches von $a$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \leq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{,} die beide von $c$ geteilt werden. Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Differenz}{}{}
\mathl{b-a}{} von $c$ geteilt wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl und
\mathl{r}{} sei die kleinste natürliche Zahl mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r^2 }
{ \geq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \leq }{r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \leq }{r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a,b$ positive natürliche Zahlen. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen der Menge aller Vielfachen von $a$ und der Menge aller Vielfachen von $b$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien drei verschiedene Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt
\mathl{a \cdot b \cdot c}{} minimal?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z }
{ =} {\{1,2,4,8,16, \ldots \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion \maabbdisp {\varphi} {\N} {Z } {} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \leq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn $\varphi(k)$ die Zahl $\varphi(n)$ teilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in Lemma 12.3 unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche verhalten.


\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungsechs{Für jede natürliche Zahl $a$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ 1 } } }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ a } } }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für jede natürliche Zahl $a \neq 0$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 0 }{ a } } }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Gilt \mathkor {} {a \,{{|}}\, b} {und} {b \,{{|}}\, c} {,} so gilt auch
\mathl{a \,{{|}}\, c}{} und es ist \zusatzklammer {bei \mathlk{a,b \neq 0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ c }{ a } } }
{ =} { { \frac{ b }{ a } } \cdot { \frac{ c }{ b } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Gilt \mathkor {} {a \,{{|}}\, b} {und} {c \,{{|}}\, d} {,} so gilt auch
\mathl{ac \,{{|}}\, bd}{} und es ist \zusatzklammer {bei \mathlk{a,c \neq 0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ bd }{ ac } } }
{ =} { { \frac{ b }{ a } } \cdot { \frac{ d }{ c } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Gilt
\mathl{a \,{{|}}\, b}{,} so gilt auch
\mathl{ac \,{{|}}\, bc}{} für jede natürliche Zahl
\mathl{c}{,} und es ist \zusatzklammer {bei $a,c \neq 0$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ bc }{ ac } } }
{ =} { { \frac{ b }{ a } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} }{Gilt \mathkor {} {a \,{{|}}\, b} {und} {a \,{{|}}\, c} {,} so gilt auch
\mathl{a \,{{|}}\, { \left( rb+sc \right) }}{} für beliebige natürliche Zahlen $r,s$, und es ist \zusatzklammer {bei \mathlk{a \neq 0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ rb+sc }{ a } } }
{ =} { r { \frac{ b }{ a } } +s { \frac{ c }{ a } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu Lemma 10.12 sehen.


\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Es sei $b$ ein Teiler von $a$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b \cdot c \cdot { \frac{ a }{ b } } }
{ =} { c \cdot a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es sei $b$ ein Teiler von $a$ und $d$ ein Teiler von $c$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b,d }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ ac }{ bd } } }
{ =} { { \frac{ a }{ b } } \cdot { \frac{ c }{ d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Insbesondere gelten, wenn $b$ ein Teiler von $a$ ist, die Beziehungen \zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,c }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ ac }{ bc } } }
{ =} { { \frac{ a }{ b } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ ac }{ b } } }
{ =} { { \frac{ a }{ b } } \cdot c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es sei $b \neq 0$ ein Teiler von $a \neq 0$ und $a$ ein Teiler von
\mathl{bc}{.} Dann ist
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{} ein Teiler von $c$ und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \, \, c \, \, }{ \, \, { \frac{ a }{ b } } \, \, } } }
{ =} { { \frac{ cb }{ a } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es gibt $24$ Schokoriegel und $16$ Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} und das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {105} {und} {150} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $t$ ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $n$. Was ist der \definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{} von \mathkor {} {t} {und} {n} {} und was ist das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {t} {und} {n} {?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Ausdruck
\mathdisp {n^2+n+41} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0,1,2, \ldots }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Handelt es sich dabei um \definitionsverweis {Primzahlen}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{12 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als Summe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {a+b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben kann, wobei sowohl \mathkor {} {a} {als auch} {b} {} \definitionsverweis {zusammengesetzte Zahlen}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1728$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1025$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl
\mathl{n^2-1}{} eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde die kleinste Zahl $N$ der Form
\mathl{N=p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r +1}{,} die keine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist, wobei
\mathl{p_1, p_2 , \ldots , p_r}{} die ersten $r$ Primzahlen sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde einen Primfaktor der Zahl
\mathl{2^{25}+1}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
\mathdisp {2^{33}-1, \, 2^{91}-1, \, 2^{13}+1} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe zwei Primfaktoren von
\mathl{2^{35} -1}{} an.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen $12,15,16,20$ sowie all ihrer positiven Teiler.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $n \neq 0$ eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {a b }
{ =} {c d }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, das dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \leq }{d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $b \neq 0$ ein Teiler von $a$ und $d \neq 0$ ein Teiler von $c$. Zeige, dass $bd$ ein Teiler von
\mathl{ad+cb}{} ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } + { \frac{ c }{ d } } }
{ =} { { \frac{ ad+cb }{ bd } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} der Zahlen
\mathdisp {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Finde einen \definitionsverweis {Primfaktor}{}{} der Zahl
\mathl{2^{25}-1}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass es außer
\mathl{3,5,7}{} kein weiteres Zahlentripel der Form
\mathl{p,p+2,p+4}{} gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

}
{} {}


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