Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 14/latex

\setcounter{section}{14}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Rest von
\mathl{123456789}{} bei Division durch $7$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Euclidean_division_example.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Euclidean_division_example.svg } {} {Dcoetzee} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}

Bringe die Division mit Rest damit in Verbindung, wie man eine Punktmenge in Blöcke konfigurieren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{n,d}{} natürliche Zahlen mit
\mathl{d \geq 1}{.} Zeige, dass $d$ genau dann ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $n$ ist, wenn bei der \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} von $n$ durch $d$ der Rest gleich $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q,d,s }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ qd+s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der Rest von $n$ bei Division durch $d$ gleich dem Rest von $s$ bei Division durch $d$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien $a,b$ natürliche Zahlen und es seien \mathkor {} {r} {bzw.} {s} {} die Reste von $a$ bzw. $b$ bei Division durch $d$. Zeige, dass der Rest von
\mathl{a+b}{} bei Division durch $d$ gleich dem Rest von
\mathl{r+s}{} bei Division durch $d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.

}
{} {}

Für die folgenden Aufgaben vergleiche man Aufgabe 14.5 und Beispiel 11.4.

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $3$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $4$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{d \geq 2}{} eine natürliche Zahl. In welcher Beziehung stehen die Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $d$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben, zum kleinen Einsundeins und zum kleinen Einmaleins im $d$-System?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathbed {a,d \in \N} {}
{d \geq 1} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass bei Division mit Rest durch $d$ aller Potenzen von $a$ \zusatzklammer {also \mathlk{a^0,a^1,a^2, \ldots}{}} {} {} schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ < }{ j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass sich die Reste von
\mathl{a^i,a^{i+1},a^{i+2} , \ldots ,a^{j-2}, a^{j-1}}{} bei den folgenden Potenzen periodisch \zusatzklammer {oder \anfuehrung{zyklisch}{}} {} {} wiederholen \zusatzklammer {insbesondere besitzen also
\mathl{a^i}{} und $a^j$ den gleichen Rest} {} {.} Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} anfangen muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {a} {und} {d} {} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe die Eindeutigkeit der Ziffernentwicklung im Zehnersystem mit Hilfe der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{} $n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich
\mathl{0,2,4,6}{} oder $8$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine positive natürliche Zahl genau dann von $10^k$ \definitionsverweis {geteilt}{}{} wird, wenn sie in der Dezimaldarstellung mit mindestens $k$ Nullen endet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen
\mathdisp {11,\, 111,\, 1111,\, 11111,\, 111111} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte im Zehnersystem die Zahl
\mathdisp {473} { . }
Wie sieht diese Zahl im Dualsystem aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl
\mathl{300}{} die Ziffernentwicklung im Dreiersystem.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1 , \ldots , 8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl
\mathdisp {5E6BB} { . }
Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die als Strichfolge gegebene natürliche Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {{{|}} {{|}}{{|}} {{|}} {{|}}{{|}}{{|}} {{|}}{{|}} {{|}} {{|}}{{|}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jede mögliche Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ = }{ 2,3, \ldots }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zifferndarstellung. Ab welchem $g$ ist die Zifferndarstellung einstellig?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es für jede natürliche Zahl $n$ nur endlich viele Basen $g=2,3, \ldots$ gibt, für die die Zifferndarstellung von $n$ nicht einstellig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Inwiefern kann man das Strichsystem als Einersystem auffassen, inwiefern nicht?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch $5$ bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass es unendlich viele \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} gibt, die modulo $4$ den Rest $3$ besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (2+4)}
{

Zu einer natürlichen Zahl $n$ sei
\mathl{\psi(n)}{} gleich der Summe aller Reste, die bei der Division von $n$ durch die Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{1,2 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auftreten. \aufzaehlungzwei {Berechne
\mathl{\psi(n)}{} für die Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{1,2 , \ldots , 10 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(n) }
{ \geq} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }