Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 14

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme den Rest von bei Division durch .




Übungsaufgaben
Euclidean division example.svg

Aufgabe

Bringe die Division mit Rest damit in Verbindung, wie man Zahlen als Kästchen in Blöcken konfigurieren kann.


Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen mit . Zeige, dass genau dann ein Teiler von ist, wenn bei der Division mit Rest von durch der Rest gleich ist.


Aufgabe

Es seien mit und . Zeige, dass der Rest von bei Division durch gleich dem Rest von bei Division durch ist.


Aufgabe

Sei eine positive natürliche Zahl. Es seien natürliche Zahlen und es seien bzw. die Reste von bzw. bei Division durch . Zeige, dass der Rest von bei Division durch gleich dem Rest von bei Division durch ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.


Für die folgenden Aufgaben vergleiche man Aufgabe 14.5 und Beispiel 11.4.

Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.


Aufgabe

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.


Aufgabe

Sei eine natürliche Zahl. In welcher Beziehung stehen die Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben, zum kleinen Einsundeins und zum kleinen Einmaleins im -System?


Aufgabe

Es seien , . Zeige, dass bei Division mit Rest durch aller Potenzen von (also ) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also derart, dass sich die Reste von bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also und den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei anfangen muss.


Aufgabe

Es seien und teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz mit gibt, deren Rest bei Division durch gleich ist.


Aufgabe

Begründe die Eindeutigkeit der Ziffernentwicklung im Zehnersystem mit Hilfe der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest.


Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich oder ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine positive natürliche Zahl genau dann von geteilt wird, wenn sie in der Dezimaldarstellung mit mindestens Nullen endet.


Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen


Aufgabe

Betrachte im Zehnersystem die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Dualsystem aus?


Aufgabe

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl die Ziffernentwicklung im Dreiersystem.


Aufgabe

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?


Aufgabe

Bestimme für die als Strichfolge gegebene natürliche Zahl

für jede mögliche Basis die Zifferndarstellung. Ab welchem ist die Zifferndarstellung einstellig?


Aufgabe

Zeige, dass es für jede natürliche Zahl nur endlich viele Basen gibt, für die die Zifferndarstellung von nicht einstellig ist.


Aufgabe

Inwiefern kann man das Strichsystem als Einersystem auffassen, inwiefern nicht?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle Verknüpfungstabellen, die das Verhalten der Reste bei der Division durch bei der Addition und der Multiplikation wiedergeben.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.


Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Zu einer natürlichen Zahl sei gleich der Summe aller Reste, die bei der Division von durch die Zahlen auftreten.

  1. Berechne für die Zahlen .
  2. Zeige, dass für stets

    gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die im Zehnersystem gegebene Zahl die Ziffernentwicklung im Fünfersystem.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die im Vierersystem gegebene Zahl die Ziffernentwicklung im Zehnersystem.



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