Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere das Lemma von Bezout als eine Lösungsaussage über eine Gleichung.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe eine Darstellung des von und an. Wie viele solche Darstellungen gibt es?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine Darstellung der für die folgenden Zahlenpaare: und ; und ; und .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über -, - und -Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?


Aufgabe * Aufgabe 20.7 ändern

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien positive Zahlen und es sei

mit und zwischen und . Wie erhält man daraus die Division mit Rest von durch ?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit

und mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für zwei ganze Zahlen die folgenden Beziehungen äquivalent sind.

  1. teilt (also ).
  2. .
  3. .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Auf den ganzen Zahlen lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und teilerfremde natürliche Zahlen. Es stehen beliebig viele Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, deren Fassungsvermögen bzw. ist. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern, wobei und teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


FibonacciRabbit.svg

Aufgabe Referenznummer erstellen

Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.

Wir starten im Monat mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Sei die Anzahl der Kaninchenpaare im -ten Monat, also , . Beweise durch Induktion die Rekursionsformel

Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Fibonacci-Zahlen. Wie viele der Paare sind im -ten Monat reproduktionsfähig?


34*21-FibonacciBlocks.png

Die Fibonacci-Zahlen sind somit

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und , sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass jede natürliche Zahl

eine Darstellung

mit besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen und . Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position bzw. . Welche Flöhe können sich treffen?


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?



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