Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau $2$ Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} zu jedem Element
\mathl{x \in K}{} eine ganze Zahl $m$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \leq }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie oft muss man eine Strecke der Länge
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 4293 } }}{} Meter mindestens hintereinander legen, um einen Kilometer zu erhalten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine ganze Zahl $q$ und ein \mathkon { t \in K } { mit } { 0 \leq t < 1 }{ } und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s }
{ =} {q+t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die halboffenen Intervalle
\mathdisp {{[n,n+1[} ={ \left\{ x \in K \mid x \geq n \text{ und } x < n+1 \right\} }, \, n \in \Z} { , }
eine disjunkte Überdeckung von $K$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {dq+r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Ergebnis einer \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q }
{ =} { \left \lfloor { \frac{ n }{ d } } \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
\mathdisp {\left \lfloor { \frac{ 513 }{ 21 } } \right \rfloor} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
\mathdisp {\left \lfloor - { \frac{ 734 }{ 29 } } \right \rfloor} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $z$ eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.} Zeige, dass $z$ genau dann \definitionsverweis {ganzzahlig}{}{} ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor -z \right \rfloor }
{ =} { - \left \lfloor z \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Runde die folgenden Brüche auf ganze Zahlen. \aufzaehlungdrei{
\mathl{{ \frac{ 317 }{ 15 } }}{,} }{
\mathl{{ \frac{ 982 }{ 323 } }}{,} }{
\mathl{- { \frac{ 477 }{ 26 } }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe die folgenden Rechnungen durch, wobei die Angaben als gemischte Brüche zu lesen sind. Auch die Ergebnisse sollen als gemischte Brüche angegeben werden. \aufzaehlungdrei{
\mathl{7 { \frac{ 4 }{ 9 } } + 2 { \frac{ 6 }{ 7 } }}{,} }{
\mathl{8 { \frac{ 2 }{ 7 } } + 4 { \frac{ 10 }{ 13 } }}{,} }{
\mathl{5 { \frac{ 8 }{ 5 } } \cdot 3 { \frac{ 3 }{ 4 } }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Rectangular hyperbola.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Rectangular hyperbola.svg } {} {Qef} {Commons} {gemeinfrei} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion \maabbeledisp {} {K \setminus \{0\}} {K } {x} {x^{-1} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion \maabbeledisp {} {K \setminus \{0\} } {K } {x} { -x^{-1} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche das \definitionsverweis {Monotonieverhalten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\Q \setminus \{0\}} { \Q } {x} { - { \frac{ 7 }{ 4 } } x^{-3} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {} {\Q } { \Q } {x} { x^3 -x } {,} weder \definitionsverweis {wachsend}{}{} noch \definitionsverweis {fallend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion \maabbeledisp {} {K } {K } {x} { \betrag { x } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Bestimme das \definitionsverweis {Monotonieverhalten}{}{} der \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} \maabbeledisp {} {K } {K } {x} { \left \lfloor x \right \rfloor } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {K} {K } {} eine Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {konstant}{}{} ist, wenn $f$ gleichzeitig wachsend und fallend ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {K} {K } {} eine Abbildung. Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {wachsend}{}{} ist, wenn die Funktion \maabbeledisp {} {K} {K } {x} { -f(x) } {,} fallend ist, und dass dies äquivalent dazu ist, dass die Funktion \maabbeledisp {} {K} {K } {x} { f(-x) } {,} fallend ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {K} {K } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} Abbildung mit der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {$f$ ist genau dann \definitionsverweis {streng wachsend}{}{,} wenn $f^{-1}$ streng wachsend ist. } {$f$ ist genau dann \definitionsverweis {streng fallend}{}{,} wenn $f^{-1}$ streng fallend ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {\varphi} {\Q} {\Q } {,} deren Werte zwischen \mathkor {} {0} {und} {1} {} liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien $x<y$ Elemente in $K$. Zeige, dass für das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} $\frac{x+y}{2}$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} {\frac{x+y}{2} }
{ <} {y }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Ein kleines Sandkorn hat ein Gewicht von
\mathl{{ \frac{ 13 }{ 2757 } }}{} Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die
\mathl{5906}{} und eine halbe Tonne wiegt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für jede rationale Zahl $x$ die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} { \left \lfloor 2x \right \rfloor - 2 \left \lfloor x \right \rfloor }
{ \leq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Lucy Sonnenschein verbringt einen Urlaubsnachmittag in einem Seebad. Sie hält sich eineinviertel Stunden am Strand auf, dann eine halbe Stunde in der Eisdiele, dann eineinhalb Stunden im Park, sodann wieder zweidreiviertel Stunden am Strand und schließlich $40$ Minuten im Café. Wie lange war ihr Nachmittag?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Untersuche das \definitionsverweis {Monotonieverhalten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\Q \setminus \{0\}} { \Q } {x} { - { \frac{ 3 }{ 11 } } x^{-4} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien Abbildungen \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {K} {K } {} gegeben, die jeweils entweder \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder streng fallend sind. Es sei $k$ die Anzahl der streng fallenden Abbildungen darunter. Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{f_1 \circ f_2 \circ \cdots \circ f_n}{} genau dann streng fallend ist, wenn $k$ ungerade ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}