Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Halbiere die ${}1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Welche der folgenden Zahlen sind Dezimalbrüche?

${\frac {3}{6}},\,{\frac {2}{6}},\,{\frac {2}{6}}\cdot 15,\,2^{-3}\cdot 7\cdot 11,\,2^{-3}\cdot 7\cdot 11^{-1},\,\sum _{n=1}^{6}{\frac {1}{n}}.$

Aufgabe

Berechne ${}0{,}5\cdot 0{,}2$.

Aufgabe

Berechne

$0{,}000000000000000007\cdot 0{,}0000000000000006.$

Aufgabe

Berechne ${}1{,}0205\cdot 0{,}0073$.

Aufgabe *

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von ${}{\frac {1}{84}}$, das ein Dezimalbruch ist.

Aufgabe *

1. Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als ${}{\frac {1}{100}}$ sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
2. Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen ${}{\frac {1}{1000}}$ und ${}1$ (einschließlich).

Aufgabe

Berechne

${\left(3\cdot 10^{-1}+6\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3}\right)}\cdot {\left(5\cdot 10^{2}+9\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}+2\cdot 10^{-1}+4\cdot 10^{-3}\right)}.$

Aufgabe

Berechne

$6{,}9\cdot 10^{-4}\cdot 7{,}3\cdot 10^{-9}.$

Aufgabe

Berechne

$4{,}3\cdot 10^{-6}+6{,}4\cdot 10^{-5}.$

Aufgabe *

Zeige, dass eine rationale Zahl genau dann ein Dezimalbruch ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form ${}2^{i}\cdot 5^{j}$ mit ${}i,j\in \mathbb {N}$ besitzt.

Aufgabe

Eine rationale Zahl ${}z\neq 0$ sei in der Form

$\pm \prod _{p{\text{ Primzahl}}}p^{\nu _{p}(z)}$

gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht?

Aufgabe

Berechne im ${}7$er-System

$0{,}026\cdot 3{,}605.$

Aufgabe

Berechne im ${}5$er-System

$0{,}0230241\cdot 32{,}1102+4{,}301\cdot 2{,}133.$

Aufgabe *

Es seien ${}a\neq b$ Basen zu einem Stellenwertsystem (${}a$-er System und ${}b$-er System). Es sei ${}z$ eine rationale Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis ${}a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis ${}b$?

Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Unterring, wenn ${}0,1,-1\in S$ ist und wenn ${}S$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}n$ als Nenner schreiben kann, einen Unterring von ${}\mathbb {Q}$ bildet.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {P} }$ eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

${}R_{T}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q{\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }}T{\text{ vorkommen}}\right\}}\,$

ein Unterring von ${}\mathbb {Q}$ ist. Was ergibt sich bei ${}T=\emptyset$, ${}T=\{3\}$, ${}T=\{2,5\}$, ${}T={\mathbb {P} }$?

Aufgabe

Approximiere die rationale Zahl ${}{\frac {7}{3}}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal ${}10^{-4}$.

Aufgabe

Approximiere die rationale Zahl ${}{\frac {1}{6}}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal ${}10^{-2}$.

Aufgabe *

Zeige, dass für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ der Dezimalbruch

$\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}$

die rationale Zahl ${}{\frac {1}{3}}$ mit einem Fehler von maximal ${}10^{-k}$ approximiert (von unten).

Aufgabe

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.

$7{,}874802,\,{\frac {4}{9}},\,{\frac {3}{13}},\,4\cdot 5^{-1}\cdot 6^{-1}.$

Aufgabe *

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Aufgabe

Halbiere den Dezimalbruch ${}297{,}0752209$.

Aufgabe *

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$760982393473{,}90354771045729$

die dritte Nachkommaziffer.

Aufgabe

Berechne den fünften Anteil des Dezimalbruches

$7601{,}4550738.$

Aufgabe *

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.

Aufgabe

Die Schüler sollen die ${}1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der ${}5$, also ${}5^{1},5^{2},5^{3},...$ auszurechnen. Er sagt: „Hast du wieder nicht aufgepasst“? Sie sagt: „Doch, das ist doch das gleiche“. Wer hat recht?

Aufgabe

Zeige, dass das arithmetische Mittel von zwei Dezimalbrüchen ${}a_{1}$ und ${}a_{2}$ wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine ${}3{\text{ plus}}$ (${}{=2{,}7}$), eine ${}1{\text{ minus}}$ (${}{=1{,}3}$), eine ${}3$ und eine ${}2{\text{ plus}}$ geschrieben. Berechne seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne ${}401{,}0013507\cdot 0{,}002056$.

Aufgabe (2 Punkte)

Approximiere die rationale Zahl ${}{\frac {1}{7}}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal ${}10^{-6}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Halbiere den Dezimalbruch ${}30437{,}09134508902$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$876059301193674{,}2903347310459901$

die fünfte Nachkommaziffer.