Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Halbiere die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Welche der folgenden Zahlen sind Dezimalbrüche?

$\frac{3}{6},\frac{2}{6},\frac{2}{6}\cdot 15,2^{-3}\cdot 7\cdot 11,2^{-3}\cdot 7\cdot 11^{-1},\sum _{n=1}^6\frac{1}{n}.$

Aufgabe

Berechne $\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,2}$.

Aufgabe

Berechne

$\mathrm{0,000000000000000007}\cdot \mathrm{0,0000000000000006.}$

Aufgabe

Berechne $\mathrm{1,0205}\cdot \mathrm{0,0073}$.

Aufgabe *

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von $\frac{1}{84}$, das ein Dezimalbruch ist?

Aufgabe *

1. Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als $\frac{1}{100}$ sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
2. Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen $\frac{1}{1000}$ und $1$ (einschließlich).

Aufgabe

Berechne

$(3\cdot 10^{-1}+6\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3})\cdot (5\cdot 10^2+9\cdot 10^1+5\cdot 10^0+2\cdot 10^{-1}+4\cdot 10^{-3}).$

Aufgabe

Berechne

$\mathrm{6,9}\cdot 10^{-4}\cdot \mathrm{7,3}\cdot 10^{-9}.$

Aufgabe

Berechne

$\mathrm{4,3}\cdot 10^{-6}+\mathrm{6,4}\cdot 10^{-5}.$

Aufgabe *

Zeige, dass eine rationale Zahl genau dann ein Dezimalbruch ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form $2^i\cdot 5^j$ mit $i,j\in \mathbb{N}$ besitzt.

Aufgabe

Eine rationale Zahl $z\ne 0$ sei in der Form

$\pm \prod _{p\text{ Primzahl}}{p}^{{\nu }_p(z)}$

gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht?

Aufgabe

Berechne im $7$er-System

$\mathrm{0,026}\cdot \mathrm{3,605.}$

Aufgabe

Berechne im $5$er-System

$\mathrm{0,0230241}\cdot \mathrm{32,1102}+\mathrm{4,301}\cdot \mathrm{2,133.}$

Aufgabe *

Es seien $a\ne b$ Basen zu einem Stellenwertsystem ($a$-er System und $b$-er System). Es sei $z$ eine rationale Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?

Eine Teilmenge  $S\subseteq R$  eines kommutativen Ringes $R$ heißt Unterring, wenn $0,1,-1\in S$ ist und wenn $S$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann, einen Unterring von $\mathbb{Q}$ bildet.

Aufgabe

Es sei  $T\subseteq \mathbb{P}$  eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

$\begin{array}{cc}{R}_T& =\{q\in \mathbb{Q}\mid q\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }T\text{ vorkommen}\}\end{array}$

ein Unterring von $\mathbb{Q}$ ist. Was ergibt sich bei  $T=\mathrm{\varnothing }$,   $T=\{3\}$,   $T=\{2,5\}$,   $T=\mathbb{P}$? 

Aufgabe

Approximiere die rationale Zahl $\frac{7}{3}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal $10^{-4}$.

Aufgabe

Approximiere die rationale Zahl $\frac{1}{6}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal $10^{-2}$.

Aufgabe *

Zeige, dass für jedes $k\in {\mathbb{N}}_{+}$ der Dezimalbruch

$\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}$

die rationale Zahl $\frac{1}{3}$ mit einem Fehler von maximal $10^{-k}$ approximiert (von unten).

Aufgabe

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.

$\mathrm{7,874802},\frac{4}{9},\frac{3}{13},4\cdot 5^{-1}\cdot 6^{-1}.$

Aufgabe *

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. $65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht?

Aufgabe

Halbiere den Dezimalbruch $\mathrm{297,0752209}$.

Aufgabe *

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$\mathrm{760982393473,90354771045729}$

die dritte Nachkommaziffer.

Aufgabe

Berechne den fünften Anteil des Dezimalbruches

$\mathrm{7601,4550738.}$

Aufgabe *

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.

Aufgabe

Die Schüler sollen die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der $5$, also $5^1,5^2,5^3,\mathrm{...}$ auszurechnen. Er sagt: „Hast du wieder nicht aufgepasst“? Sie sagt: „Doch, das ist doch das gleiche“. Wer hat recht?

Aufgabe

Zeige, dass das arithmetische Mittel von zwei Dezimalbrüchen $a_1$ und $a_2$ wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine $3\text{ plus}$ ($=\mathrm{2,7}$), eine $1\text{ minus}$ ($=\mathrm{1,3}$), eine $3$ und eine $2\text{ plus}$ geschrieben. Berechne seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne $\mathrm{401,0013507}\cdot \mathrm{0,002056}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Approximiere die rationale Zahl $\frac{1}{7}$ durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal $10^{-6}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Halbiere den Dezimalbruch $\mathrm{30437,09134508902}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$\mathrm{876059301193674,2903347310459901}$

die fünfte Nachkommaziffer.