Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 25

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Das Archimedes-Axiom für die rationalen Zahlen



Lemma  

Zu jeder rationalen Zahl

gibt es eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Sei

mit positivem . Wenn negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn nicht negativ ist, so ist

und damit

gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.


Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper (und jeder angeordnete Ring ) die ganzen Zahlen enthält.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
gibt.

Gemäß Lemma 25.1 sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Grundsätzlich ist jeder angeordnete Körper, für den der Zahlenstrahl ein sinnvolles Modell ist, archimedisch angeordnet, da es ja jenseits eines jeden Punktes noch größere natürliche Zahlen gibt. Es gibt allerdings auch angeordnete Körper, die nicht archimedisch angeordnet sind.

Zandlineaal-schuin.jpg
Dune 7 in the Namib Desert.jpeg


Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ist und egal wie klein ein positives ist, man kann stets mit hinreichend vielen die Zahl übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.



Lemma  

Sei ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu mit stets ein mit .

Beweis  

Wir betrachten . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit . Da positiv ist, gilt nach Lemma 24.5  (2) auch .




Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei .

Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .

Beweis  

Es ist eine nach Aufgabe 24.12 positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl mit . Dies ist nach Aufgabe 24.15 äquivalent zu


Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei an eine sehr große und bei an eine sehr kleine Zahl.



Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und .

Dann gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Wir schreiben  mit . Aufgrund von Lemma 25.3 gibt es eine natürliche Zahl mit . Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung




Korollar  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und mit .

Dann gibt es zu jedem positiven eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Sei und . Nach Lemma 25.5 gibt es ein mit

Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man gemäß Lemma 24.5  (4) die Behauptung.



Gemischte Brüche
Floor function.svg

Definition  

Zu einer rationalen Zahl ist die Gaußklammer durch

definiert.

Diese ganze Zahl existiert, da wir uns in einem archimedisch angeordneten Körper befinden. Ein damit verwandtes Konzept ist die Rundung. Die Rundung einer rationalen (oder reellen) Zahl ist durch definiert. Sie gibt an, welche Ganze Zahl der Zahl am nächsten ist, wobei man die -Werte abrundet.


Definition  

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl mit und . Der Wert eines gemischten Bruches ist

Die natürliche Zahl heißt der ganzzahlige Anteil und heißt der Bruchanteil. Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung für eine rationale Zahl, sind ist vor allem bei Zeit- und bei Längenangaben gebräuchlich, wie wenn man sagt, dass die Oper dreieinviertel Stunden gedauert hat. Vorteile sind, dass durch den ganzzahligen Anteil die Größenordnung der Zahl unmittelbar ersichtlich ist und dass sich diese Darstellung ergibt, wenn man bei einem gegebenen Bruch die Division mit Rest von Zähler durch Nenner durchführt. Ein Nachteil ist die Verwechslungsgefahr von mit dem Produkt . In einem Kontext, in dem man mit gemischten Brüchen arbeitet, muss man auf die Konvention, dass man das Produktzeichen weglassen darf, verzichten. Was gemischte Brüche für negative Zahlen sind ist auch heikel.

Jede positive rationale Zahl besitzt eine Darstellung als gemischter Bruch, die bis auf das Kürzen des Bruchanteils eindeutig bestimmt ist. Zu einem Bruch erhält man die Darstellung als gemischter Bruch, indem man die Division mit Rest

mit durchführt und die Umformung

vornimmt. Insbesondere ist . Bei der Weiterverarbeitung eines gemischten Bruches arbeitet man mit . Dies kann man in einen ungemischten Bruch zurückrechnen, was aber nicht immer von Vorteil ist. Wenn man beispielsweise die beiden gemischten Brüche und miteinander addieren möchte, und das Ergebnis als gemischten Bruch haben möchte, so kann man von ausgehen und muss für die Summe der Brüche hinten nur überprüfen, ob diese übertrifft oder nicht und gegebenenfalls zum ganzen Anteil dazuschlagen.



Monotone Abbildungen

Abbildungen eines angeordneten Körpers in sich kann man dahingehend untersuchen, ob sie die Ordnung beibehalten oder verändern.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge. Eine Abbildung

heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente mit die Abschätzung gilt.

Als gemeinsame Bezeichnung spricht man von (streng) monotonen Funktionen.



Lemma  

Es sei ein angeordneter Körper, eine Teilmenge und

eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.

Dann ist injektiv.

Beweis  

Seien verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist oder , wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei strenger Monotonie folgt daraus

und insbesondere sind und verschieden, also ist die Abbildung injektiv.


Definition  

Es sei ein Körper. Eine Funktion der Form

mit einem festen heißt lineare Funktion.

Lineare Funktionen drücken eine Proportionalität aus.



Lemma  

Es sei ein angeordneter Körper, und

die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Bei ist streng wachsend.
  2. Bei ist konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
  3. Bei ist streng fallend.

Beweis  

Die Aussagen folgen aus Lemma 24.5, wenn man dort durch ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei

und . Dann ist

und damit

also

Insbesondere ist die Negation

streng fallend.

Die Funktionen, deren Monotonieverhalten in der folgenden Aussage besprochen wird, heißen Potenzfunktionen.

Die zweite Potenz ist im Positiven streng wachsend und im Negativen streng fallend.
Die dritte Potenz ist auf ganz bzw. streng wachsend.



Lemma  

Es sei ein angeordneter Körper und . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Abbildung

    ist streng wachsend.

  2. Die Abbildung

    ist bei ungerade streng wachsend.

  3. Die Abbildung

    ist bei gerade streng fallend.

Beweis  

Der erste Teil folgt unmittelbar durch -fache Anwendung von Lemma 19.13  (6), die beiden weiteren Teile ergeben sich daraus durch Berücksichtigung der Negation und Lemma 25.15  (3).


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