Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 16/latex

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\setcounter{section}{16}






\zwischenueberschrift{Schriftliches Multiplizieren}

Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt im allgemeinen Distributivgesetz. Für zwei natürliche Zahlen der Form
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{\ell}10^{\ell}} { }
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{m \cdot n }
{ =} { { \left( a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \right) } \cdot { \left( b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{\ell}10^{\ell} \right) } }
{ =} { \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i} \cdot 10^{j} }
{ =} { \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i + j} }
{ =} { \sum_{s = 0}^{k + \ell} { \left( \sum_{i = 0}^{ k} a_i b_{s-i} \right) } 10^s }
} {}{}{.} Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor
\mathl{\sum_{i = 0}^{ k} a_i b_{s-i}}{} nicht kleiner als $10$, aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist Bemerkung 14.4 anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren.




\inputverfahren{}
{

Beim \stichwort {schriftlichen Multiplizieren} {}
\mathl{m \cdot n}{} zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{\ell}10^{\ell}} { }
gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. \aufzaehlungdrei{Man berechnet für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j }
{ = }{0,1 , \ldots , \ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einzeln die Dezimalziffern $c_i$ des Teilproduktes
\mathl{m \cdot b_j}{} und die \stichwort {Überträge} {}
\mathl{d_{i+1}}{} \zusatzklammer {mit dem Startwert
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{d_0 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} sukzessive über die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_i b_j + d_i }
{ =} { d_{i+1} \cdot 10 + c_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} { c_i }
{ \leq} {9 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die zu den $j$ \zusatzklammer {bzw. $b_j$} {} {} gehörenden Ziffernfolgen schreibt man untereinander, wobei jeweils $c_0$ unterhalb von $b_j$ steht. }{Man summiert die verschiedenen verschobenen Teilprodukte im Sinne des schriftlichen Addierens. } Das Ergebnis \zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {} dieser Addition ist die Ausgabe des Multiplikationsalgorithmus.

}

Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{b_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einstellig ist \zusatzklammer {sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt} {} {.} Diesen Fall betrachten wir zuerst.





\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Das schriftliche Multiplizieren mit einem einstelligen zweiten Faktor im Zehnersystem ist korrekt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die linke Faktor sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} {a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und der rechte Faktor sei $b_0$, wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form
\mathdisp {a_k \ldots a_2a_1a_0 \, \, \cdot \, \, b_0} { }
im Sinne von Verfahren 16.1 durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl
\mathl{c_{k+1}c_k \ldots c_2c_1c_0}{.} Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Dies zeigen wir durch das folgende Invarianzprinzip des Multiplikationsalgorithmus, dass nämlich nach dem $i$-ten Schritt \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{i }
{ = }{-1,0,1 , \ldots , k+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} der Ausdruck
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{P_i }
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + d_{i+1} 10^{i+1} + c_i 10^{i} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} konstant ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m \cdot b_0 }
{ =} {P_{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und da für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i }
{ >} {k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Produkt vollständig abgebaut ist, folgt daraus, dass die $c_i$ die Ziffern des Produktes sind. Die Konstanz ergibt sich unter Verwendung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i b_0 +d_i }
{ =} { d_{i+1} \cdot 10 + c_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus \zusatzklammer {das beschreibt den $i$-ten Rechenschritt} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{P_{i-1} }
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i} 10^{i} \right) } \cdot b_0 + d_{i} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + a_{i} b_0 10^{i} + d_{i} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
{ =} {{ \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + { \left( a_{i} b_0 + d_{i} \right) } 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
{ =} {{ \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + { \left( d_{i+1} 10 +c_i \right) } 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{ \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + d_{i+1} 10^{i+1} +c_i 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
{ =} {P_{i} }
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}


Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf die Überträge bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl.

\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl $b$}
\faktfolgerung {sind die Überträge stets $< b$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe *****. }


Der Übertrag $b-1$ tritt in der Tat auf, wie die Multiplikation der $9$ mit $b$ zeigt.




\inputbeispiel{}
{

Der Übertrag bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl $b$ wirkt sich im Allgemeinen auf jede Ziffer des Ergebnisses aus, d.h. Überträge setzen sich fort. Daher muss man die einzelnen Ziffern von hinten nach vorne mit $b$ multiplizieren. Beispielsweise ist bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \mathkor {} {m= 333 333 333} {bzw.} {n = 333 333 334} {} einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 333 333 333 \cdot 3 }
{ =} { 999 999 999 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 333 333 334 \cdot 3 }
{ =} {1 000 000 002 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}

Im Gegensatz zur Multiplikation mit der $3$ ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der $10$, also mit \mathkor {} {2} {und} {5} {,} besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die $i$-te Ziffer des Produktes einer Zahl $z$ mit der $2$ \zusatzklammer {oder der $5$} {} {} auszurechnen, muss man nur die $i$-te und die
\mathl{(i-1)}{-}te Ziffer der Zahl kennen.






\inputbemerkung
{}
{

Bei der Multiplikation mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vereinfacht sich das in Verfahren 16.1 beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} { \sum_{i = 0}^k a_i \cdot 10^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer einstelligen Zahl $b$. Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen \zusatzklammer {Division mit Rest} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i \cdot b + d_i }
{ =} { d_{i+1} \cdot 10 + c_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} { c_i }
{ \leq} {9 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} durchzuführen, wobei dadurch die $c_i$ und die $d_i$ rekursiv mit dem Startwert $d_0=0$ festgelegt sind und wobei die $c_i$ die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i \cdot b }
{ =} { d_{i+1} \cdot 10 +r_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} berechnen muss und die Ergebnisziffern
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_i }
{ =} { d_i +r_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erhält. Insbesondere hängt $c_i$ nur von \mathkor {} {a_i} {und} {a_{i-1}} {} ab. Kurz gesagt: Die $i$-te Ziffer eines Produktes
\mathl{a_k \ldots a_i a_{i-1} \ldots a_2a_1a_0}{} mit $2$ \zusatzklammer {oder mit $5$} {} {} ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl
\mathl{a_i a_{i-1}}{} mit $2$ bzw. mit $5$ multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.

Zunächst sind nach Fakt ***** bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl $b$ die Überträge echt kleiner als $b$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kommen also nur die Überträge \mathkor {} {0} {oder} {1} {} in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von \mathkor {} {a_i \cdot 2 + d_i} {bzw.} {a_i \cdot 2} {} durch $10$ überein \zusatzklammer {wenn man zu einer geraden Zahl eine $1$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht} {} {,} Die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i }
{ = }{r_i +d_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt direkt.

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kommen nur die Überträge
\mathl{0,1,2,3,4}{} in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von \mathkor {} {a_i \cdot 5 + d_i} {bzw.} {a_i \cdot 5} {} durch $10$ überein \zusatzklammer {wenn man zu einer durch $5$ teilbaren Zahl eine Zahl $\leq 4$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht} {} {.} Die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i }
{ = }{r_i +d_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt wieder direkt.

}

Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach.





\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Zehnerpotenz als Faktor/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die Dezimaldarstellung eines Produktes aus einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} {a_ka_{k-1} \ldots a_2a_1a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und einer Zehnerpotenz $10^\ell$ erhält man, indem man an diese Ziffernfolge $\ell$ Nullen anhängt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{m \cdot 10^\ell }
{ =} { { \left( a_k10^k + \cdots + a_2 10^2 +a_1 10 +a_0 \right) } \cdot 10^\ell }
{ =} { a_k 10^{k+\ell} + \cdots + a_2 10^{2+\ell} +a_1 10^{1 + \ell} +a_010^\ell }
{ =} { a_k 10^{k+\ell} + \cdots + a_2 10^{2+\ell} +a_1 10^{1 + \ell} +a_010^\ell +0 \cdot 10^{\ell -1} + \cdots + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0 }
{ } { }
} {}{}{,} woraus unmittelbar die Dezimaldarstellung des Produktes ablesbar ist.

}






\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die beiden Zahlen seien
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{\ell}10^{\ell}} { . }
Beim schriftlichen Multiplizieren berechnet man unabhängig voneinander
\mathdisp {a_k \ldots a_2a_1a_0 \, \, \cdot \, \, b_j} { }
für
\mathl{j=0,1 , \ldots , \ell}{} und notiert das Ergebnis so, dass die Einerziffer unterhalb von $b_j$ steht. So entstehen
\mathl{\ell+1}{} Zahlen, die versetzt übereinander stehen. Diese Zahlen werden nach hinten mit Nullen aufgefüllt \zusatzklammer {wobei man dies nur gedanklich machen muss} {} {.} Die Summe dieser Zahlen im Sinne des schriftlichen Addierens ist das Endergebnis
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{m \cdot n }
{ =} { m \cdot { \left( b_{\ell}10^{\ell} +b_{\ell -1} 10^{\ell -1} + \cdots +b_2 10^2 + b_1 10+ b_0 \right) } }
{ =} { m \cdot b_\ell 10^{\ell} + m b_{\ell -1} \cdot 10^{\ell -1} + \cdots + m \cdot b_2 10^2 +m \cdot b_1 10+ m \cdot b_0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach Lemma 16.2 werden die
\mathl{m \cdot b_j}{} im schriftlichen Multiplizieren korrekt ausgerechnet. Dadurch, dass die Einzelergebnisse unterhalb von $b_j$ stehen und nach hinten mit Nullen aufgefüllt werden, stehen im Algorithmus wegen Lemma 16.5 die Zahlen
\mathl{m \cdot b_j 10^{j}}{} korrekt übereinander, so dass das schriftliche Addieren nach Satz 15.5 das korrekte Ergebnis liefert.

}






\zwischenueberschrift{Schriftliches Subtrahieren}




\inputverfahren{}
{

Beim schriftlichen Subtrahieren
\mathl{m-n}{} zweier natürlicher Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ \geq} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die im Dezimalsystem als
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{k}10^{k}} { }
gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. Man berechnet die Dezimalziffern $c_i$ des Ergebnisses und die Überträge
\mathl{d_{i+1}}{} \zusatzklammer {mit dem Startwert
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{d_0 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} sukzessive durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_i }
{ =} { \begin{cases} a_i - { \left( b_i +d_i \right) } \, , \text{ falls } a_i \geq b_i +d_i \, , \\ a_i +10 - { \left( b_i +d_i \right) } \, , \text{ falls } a_i < b_i +d_i \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{i+1} }
{ =} { \begin{cases} 0\, , \text{ falls } a_i \geq b_i +d_i \, ,\\ 1 \, , \text{ falls } a_i < b_i +d_i \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Die Dezimaldarstellung der Differenz
\mathl{m-n}{} ist
\mathl{c_k \ldots c_2c_1c_0}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n= b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{k}10^{k}} { }
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ \geq} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir behaupten, dass für jedes
\mathl{i=-1,0,1 , \ldots , k}{} der Ausdruck
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{S_i }
{ =} { a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} - d_{i+1}10^{i+1} + b_i 10^{i} + \cdots + b_1 10 + b_0 + c_i 10^{i} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} konstant gleich $m$ ist. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i }
{ =} {-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} fehlen die $b$-, die $c$- und die $d$-Ausdrücke, so dass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von $S_{i-1}$ nach $S_i$, was dem $i$-ten Rechenschritt entspricht. Im Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i }
{ \geq} {b_i+d_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d_{i+1} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i-d_i }
{ = }{b_i+c_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{S_{i -1} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i} 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0 } {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} + (b_i+c_i) 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0} {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} - d_{i+1}10^{i+1} + b_i 10^{i} + \cdots + b_1 10 + b_0 } {c_i 10^{i} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {S_i } {} }
} {}{}{.} Im Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i }
{ <} {b_i+d_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d_{i+1} }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i }
{ = }{b_i+c_i+d_i-10 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{S_{i -1} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i} 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0} {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1}+ { \left( b_i+c_i+d_i -10 \right) } 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0} {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} -10 \cdot 10^{i} + b_i 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0 + c_i 10^{i}} {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} -d_{i+1} \cdot 10^{i+1} + b_i 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0 } {+ c_i 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \zeilemitteil {S_i } {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
}{}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind die $a$- und die $d$-Ausdrücke vollständig abgebaut \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{d_{k+1} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und es bleiben die vollständigen $b$- und $c$-Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} { b_k 10^{k} + \cdots + b_1 10 + b_0 + c_k 10^{k} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
{ =} {n +c_k 10^{k} + \cdots + c_1 10 + c_0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und somit ist
\mathl{c_k 10^{k} + \cdots + c_1 10 + c_0}{} gleich der Differenz
\mathl{m-n}{.}

}


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