Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 16

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Schriftliches Multiplizieren

Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt im allgemeinen Distributivgesetz. Für zwei natürliche Zahlen der Form

ist

Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor nicht kleiner als , aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist Bemerkung 14.4 anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren.


Verfahren  

Beim schriftlichen Multiplizieren zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als

gegeben sind, geht man folgendermaßen vor.

  1. Man berechnet für jedes einzeln die Dezimalziffern des Teilproduktes und die Überträge (mit dem Startwert ) sukzessive über die Gleichungen

    mit

  2. Die zu den (bzw. ) gehörenden Ziffernfolgen schreibt man untereinander, wobei jeweils unterhalb von steht.
  3. Man summiert die verschiedenen verschobenen Teilprodukte im Sinne des schriftlichen Addierens.

Die Dezimaldarstellung des Produktes ist das Ergebnis dieser Addition.

Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl einstellig ist (sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt). Diesen Fall betrachten wir zuerst.



Lemma  

Das schriftliche Multiplizieren mit einem einstelligen zweiten Faktor im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis  

Die linke Faktor sei

und der rechte Faktor sei , wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form

im Sinne von Verfahren 16.1 durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl . Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Dies zeigen wir durch das folgende Invarianzprinzip des Multiplikationsalgorithmus, dass nämlich nach dem -ten Schritt () der Ausdruck

konstant ist. Wegen

und da für

das Produkt vollständig abgebaut ist, folgt daraus, dass die die Ziffern des Produktes sind. Die Konstanz ergibt sich unter Verwendung von

aus (das beschreibt den -ten Rechenschritt)



Beispiel  

Der Übertrag bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl wirkt sich im Allgemeinen auf jede Ziffer des Ergebnisses aus, d.h. Überträge setzen sich fort. Daher muss man die einzelnen Ziffern von hinten nach vorne mit multiplizieren. Beispielsweise ist bei und bzw. einerseits

und andererseits


Im Gegensatz zur Multiplikation mit der ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der , also mit und , besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die -te Ziffer des Produktes einer Zahl mit der (oder der ) auszurechnen, muss man nur die -te und die -te Ziffer der Zahl kennen.

Bemerkung  

Bei der Multiplikation mit und mit vereinfacht sich das in Verfahren 16.1 beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl

mit einer einstelligen Zahl . Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen

mit

durchzuführen, wobei dadurch rekursiv mit dem Startwert festgelegt sind und wobei die die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wie behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur

berechnen muss und die Ergebnisziffern

erhält. Insbesondere hängt nur von und ab.

Bei

liegt das daran, dass die gleich oder sind. Dies beweist man durch einfach durch Induktion unter Verwendung von

so dass der ganze Anteil wieder maximal gleich ist. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von bzw. durch überein. Die Beziehung folgt direkt.

Bei

liegt das daran, dass die zwischen und (einschließlich) liegen. Dies beweist man durch einfach durch Induktion unter Verwendung von

so dass der ganze Anteil wieder maximal gleich ist. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von bzw. durch überein. Die Beziehung folgt wieder direkt.


Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach.



Lemma  

Die Dezimaldarstellung eines Produktes aus einer Dezimalzahl

und einer Zehnerpotenz erhält man, indem man an die Dezimalzahl Nullen anhängt.

Beweis  

Es ist

woraus unmittelbar die Dezimaldarstellung des Produktes ablesbar ist.




Satz  

Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis  

Die beiden Zahlen seien

Beim schriftlichen Multiplizieren berechnet man unabhängig voneinander

für und notiert das Ergebnis so, dass die Einerziffer unterhalb von steht. So entstehen Zahlen, die versetzt übereinander stehen. Diese Zahlen werden nach hinten mit Nullen aufgefüllt (wobei man dies nur gedanklich machen muss). Die Summe dieser Zahlen im Sinne des schriftlichen Addierens ist das Endergebnis

Nach Lemma 16.2 werden die im schriftlichen Multiplizieren korrekt ausgerechnet. Dadurch, dass die Einzelergebnisse unterhalb von stehen und nach hinten mit Nullen aufgefüllt werden, stehen im Algorithmus wegen Lemma 16.5 die Zahlen korrekt übereinander, so dass das schriftliche Addieren nach Satz 15.5 das korrekte Ergebnis liefert.



Schriftliches Subtrahieren

Verfahren  

Beim schriftlichen Subtrahieren zweier natürlicher Zahlen mit

die im Dezimalsystem als

gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. Man berechnet die Dezimalziffern des Ergebnisses und die Überträge (mit dem Startwert ) sukzessive durch

und

Die Dezimaldarstellung der Differenz ist .



Satz  

Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.

Beweis  

Es sei

und

Wir behaupten, dass für jedes der Ausdruck

konstant gleich ist. Für

fehlen die -, die - und die -Ausdrücke, so dass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von nach , was dem -ten Rechenschritt entspricht. Im Fall

ist

und im Fall

ist

Für hinreichend groß sind die - und die -Ausdrücke vollständig abgebaut und es bleiben die vollständigen - und -Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass

ist und somit ist gleich der Differenz .


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