Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
- Übungsaufgaben
Interpretiere das Lemma von Bezout als eine Lösungsaussage über eine Gleichung.
Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .
Man gebe eine Darstellung des von und an. Wie viele solche Darstellungen gibt es?
Finde eine Darstellung der für die folgenden Zahlenpaare: und ; und ; und .
Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über -, - und -Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?
Es seien und teilerfremde natürliche Zahlen. Es stehen beliebig viele Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, deren Fassungsvermögen bzw. ist. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern, wobei und teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit
gibt.
Es seien positive Zahlen und es sei
mit und zwischen und . Wie erhält man daraus die Division mit Rest von durch ?
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit
und mit
gibt.
Zeige, dass für zwei ganze Zahlen die folgenden Beziehungen äquivalent sind.
- teilt (also ).
- .
- .
Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
Es sei eine Gruppe und es seien und Untergruppen von . Zeige, dass der Durchschnitt
ebenfalls eine Untergruppe von ist.
Es seien (beliebige viele) gemalte Pfeile der Länge und der Länge gegeben. Wie muss man die Pfeile hintereinanderlegen (wobei immer ein Pfeilende an der Pfeilspitze des Vorgängerpfeils anliegt), damit insgesamt ein Gesamtpfeil der Länge entsteht?
Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Schwere bzw. Kilogramm.
- Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
- Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.
Auf den ganzen Zahlen lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.
Es sei
eine Primzahl. Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form (im Dezimalsystem)
gibt, die ein Vielfaches von ist.
Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.
Wir starten im Monat mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Es sei die Anzahl der Kaninchenpaare im -ten Monat, also , . Beweise durch Induktion die Rekursionsformel
Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Fibonacci-Zahlen. Wie viele der Paare sind im -ten Monat reproduktionsfähig?
Die Fibonacci-Zahlen sind somit
Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?
Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und , sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass jede natürliche Zahl
eine Darstellung
mit besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen und . Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position bzw. . Welche Flöhe können sich treffen?
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?
