Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 2

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Wie viele ganzzahlige Geldbeträge zwischen ${}1$ und ${}100$ Euro kann man mit maximal zwei Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) begleichen?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Sie wollen im Unterricht in der Grundschule vermitteln, dass man nicht durch ${}0$ teilen darf. Wie argumentieren Sie, wenn folgende Erfolgsquoten feststehen.

1. Mit einem stichhaltigen mathematischen Argument bewirkt man, dass ${}80$ Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch ${}0$ teilen.
2. Mit dem Argument, dass die ${}0$ ganz ganz traurig wird, wenn durch sie geteilt wird, bewirkt man, dass ${}90$ Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch ${}0$ teilen.
3. Mit dem Argument, dass die Schüler Gummibärchen bekommen, wenn sie nicht durch ${}0$ teilen, bewirkt man, dass ${}100$ Prozent der Schüler und Schülerinnen nicht durch ${}0$ teilen.

Aufgabe

Aus der Schule ist bekannt, dass man nicht durch ${}0$ dividieren darf. Warum eigentlich nicht?

Gabi Hochster

Aufgabe

Gabi Hochster hat Mathematikunterricht (vierte Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) gehalten wird. Gummibärchen hin oder her, Gabi Hochster möchte sich nicht damit abfinden, dass man anscheinend nicht durch ${}0$ teilen darf. Die Zahlen ${}1/0,2/0$ u.s.w. würde es geben, ihr Gehalt sei nur etwas mysteriös, und sie möchte sich damit weiter beschäftigen. Man könne für diese Zahlen die Bruchrechenregeln nicht naiv anwenden, beispielsweise gelte nicht die Kürzungsregel

${}{\frac {1}{0}}\cdot 0=1\,.$

Ansonsten könne man aber mit diesen neuen Zahlen ziemlich gut rechnen, es gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz, und es gelte nach wie vor ${}0\cdot a=0$ für alle Zahlen ${}a$, auch für die neuen.

1. Frau Maier-Sengupta weiß nicht so recht, wie sie darauf reagieren soll und wendet sich an Sie, da Sie die Fachleiter/In Mathematik an der Schule sind. Wie beurteilen Sie die Situation? Hat Gabi recht? Was ist Ihr Rat an die Kollegin?
2. Gabi hat mittlerweile Spaß an ihren neuen Zahlen gefunden und bringt die ganze Klasse durcheinander, weil sie ständig sagt „man darf doch durch ${}0$ teilen“. Frau Maier-Sengupta befürchtet, dass dies die anderen Schüler zu Fehlschlüssen verleitet und ermahnt Gabi, nicht mehr davon zu sprechen, das sei halt so, dass man nicht durch ${}0$ teilen darf. Daraufhin sagt Gabi: „Frau Maier-Sengupta versteht gar nix von Mathe, noch nicht einmal, dass man durch ${}0$ teilen darf“. Dies vermerkt Frau Maier-Sengupta im Klassenbuch als eine Beleidigung. Wie hätten Sie reagiert?
3. Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, und der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/In teilnehmen sollen. Die Eltern beschweren sich, dass Frau Maier-Sengupta die kreativen Ansätze ihrer Tochter nicht positiv aufnehmen würde, sondern abblocke. Sie befürchten, dass ihre Tochter in der Schule geistig verarme. Was ist Ihre Position?

Aufgabe

Berechne den Geldbetrag, wenn man von jeder Cent-Münze und von jeder Euro-Münze genau ein Exemplar besitzt.

Aufgabe

Mit den üblichen Eurozahlen soll ein Betrag von ${}10$ Euro beglichen werden. Mit welcher Anzahl von Münzen/Scheinen ist dies möglich?

Aufgabe

Es sei vorausgesetzt, dass man einen konkreten Eurobetrag ${}w$ mit ${}k$ Eurozahlen begleichen kann. Zeige, dass man dann den Eurobetrag ${}w+1$ mit ${}k+1$ Eurozahlen begleichen kann.

Aufgabe

Wie viele volle Geldbeträge zwischen ${}1$ und ${}100$ Euro kann man mit genau ${}1,2,3,4,5,6$ Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) begleichen? Was ergibt die Summe dieser Zahlen?

Aufgabe

Wie viele volle Geldbeträge zwischen ${}1$ und ${}100$ Euro kann man mit genau ${}1,2,3,4,5,6$ Euromünzen bzw. Scheinen (ohne Rückgeld) minimal begleichen.

Aufgabe

1. Mit den Eurozahlen kann man zählen, indem man für jede natürliche Zahl die minimale Darstellung angibt, also: Ein Einer, ein Zweier, ein Einer und ein Zweier, zwei Zweier, ein Fünfer, ein Einer und ein Fünfer, ein Zweier und ein Fünfer, ein Einer und ein Zweier und ein Fünfer, etc. Zähle in dieser Weise bis ${}50$, ohne auf die übliche Zählweise im Dezimalsystem Bezug zu nehmen.
2. Die Koeffizienten in der minimalen Darstellung einer Zahl mit den Eurozahlen schreiben wir als Tupel, also in der Form

   $(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{9}),$

   wobei sich die ${}a_{i}$ auf die ${}i$-te Münze (bzw. Geldschein) in aufsteigender Reihenfolge bezieht. Das Tupel

   $(1,1,1,0,2,0,1,0,0)$

   bedeutet also ${}1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 5+2\cdot 20+1\cdot 100=148$. Berechne

   $(1,0,1,1,1,0,0,2,0)+(1,1,0,1,1,0,1,0,0)$

   (das Ergebnis soll wieder in minimaler Darstellung sein).

Aufgabe *

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}f(n)$ der minimale Eurobetrag, für den man mindestens ${}n$ Münzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen.

1. Erstelle eine Tabelle, aus der die Werte für ${}f(n)$ ablesbar sind?
2. Was ist ${}f(1000000)$?

Aufgabe

Die Schüler und Schülerinnen sollen sich überlegen, auf wie viele Arten man den Betrag ${}85$ mit den Euro-Scheinen ${}5,10,20,50$ begleichen kann. Gabi Hochster überlegt stattdessen, wie man den Betrag ${}17$ mit den Zahlen ${}1,2,4,10$ darstellen kann. Wie kam sie auf diese Fragestellung?

Aufgabe

Wie kann man das Dezimalsystem für natürliche Zahlen mit einem Bargeldsystem wie in Satz 2.1 in Verbindung bringen? Wie beweist man in diesem Fall die Eindeutigkeit der Darstellung? Was ist die Koeffizientenbedingung zu formulieren? Wäre das Dezimalsystem für den Geldverkehr sinnvoll?

Aufgabe

An welcher Stelle bricht der Eindeutigkeitsbeweis zu Satz 2.1 zusammen, wenn man mit den Zahlen ${}1,3,5,10$, u.s.w. statt mit den Eurozahlen rechnet.

Aufgabe

1. Ein Münzsystem bestehe aus ${}1$-, ${}3$- und ${}10$-Taler-Münzen. Ist die minimale Darstellung eines jeden Betrages eindeutig?
2. Ein Münzsystem bestehe aus ${}1$-, ${}4$- und ${}10$-Taler-Münzen. Ist die minimale Darstellung eines jeden Betrages eindeutig?

Aufgabe *

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von ${}20$ Cent begleichen?

Aufgabe *

Auf Ruggetong heißt die Währung Riggating und es gibt nur zwei Münzen (mit vollen Riggatingbeträgen). Es kann jeder volle Geldbetrag damit bezahlt werden. Zeige, dass dann die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig ist. Wie kann man sie berechnen?

Aufgabe

Auf Riggatong gibt es ${}k$ Münzen mit den Werten ${}1,2,3,\ldots ,k-1,k$. Ist die minimale Darstellung eines jedes Geldbetrages eindeutig? Ist die Darstellung, die so viele ${}k$-Münzen wie möglich verwendet und den Rest mit einer der anderen Münzen auffüllt, minimal?

Aufgabe

Ein Geldfälscher stellt ${}3$- und ${}7$-Euro-Scheine her.

1. Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht (exakt) begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann?
2. Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann?
3. Beschreibe die Menge ${}M$ der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann.

Aufgabe

Wir erlauben, dass Geldbeträge auch mit Hilfe von Rückgeld (mit den üblichen Eurozahlen) beglichen werden. Eine Darstellung eines Betrages heißt minimal, wenn die Gesamtzahl der bewegten Münzen bzw. Scheine minimal ist.

1. Für welche Geldbeträge ${}w\leq 20$ verringert sich die minimale Anzahl an Bargeldmitteln, die bewegt werden müssen (im Vergleich zur Situation, in der kein Rückgeld erlaubt ist)?
2. Für welche Geldbeträge ${}w\leq 20$ ist die minimale Darstellung eindeutig?

Aufgabe *

Professor Knopfloch möchte mit Dr. Eisenbeis essen gehen und hebt daher beim Bankautomat ${}100$ Euro in Scheinen ab.

1. Was ist die minimale Anzahl von Scheinen und was ist die maximale Anzahl von Scheinen, die er bekommen kann?
2. Ist es möglich, dass er ${}17$ Scheine bekommt?
3. Welche Anzahlen von Scheinen sind möglich?
4. Was ist die kleinste Anzahl von Scheinen, für die es zumindest zwei verschiedene Scheinverteilungen gibt?

Aufgabe

Welche der folgenden Aussagen sind wissenschaftliche Fakten? Zu welcher Wissenschaft gehören sie? Worauf beruht ihre Gültigkeit bzw. Nichtgültigkeit?

1. Rauchen ist gesundheitsschädlich.
2. Die Dinosaurier sind vor ca. 65 Millionen Jahren ausgestorben.
3. Die Dinosaurier sind gar nicht ausgestorben.
4. So etwas wie Dinosaurier hat es nie gegeben.
5. Die Evangelien wurden nicht von Augenzeugen geschrieben.
6. Die ${}abc$-Vermutung ist inzwischen ein Satz.
7. Die ${}abc$-Vermutung ist immer noch eine Vermutung.
8. Die Relativitätstheorie ist bestätigt.
9. Es ist nicht möglich, Gold aus anderen Stoffen herzustellen.
10. Die Welt wird bald untergehen.

Aufgabe

In der Vorlesung wurde ein vergleichsweise positives Bild von Wissenschaft angedeutet. Es gibt auch völlig andere Einschätzungen, wie in den folgenden Formulierungen zum Ausdruck kommt. Was ist Ihre Meinung?

1. Wissenschaft ist in erster Linie ein Herrschaftsinstrument.
2. Wissenschaft dient hauptsächlich zur abgedrehten Selbstbeschäftigung einer kleinen Elite.
3. Wissenschaft ist ein modernes Märchen, ein sprachliches Konstrukt, ein diskursives Narrativ, das man ebenso dekonstruieren kann.
4. Wissenschaft dient allein der Aufrechterhaltung des Patriarchats.
5. Wissenschaft ist gegen Gott.
6. Wissenschaft besteht aus einer willkürlichen Ansammlung von Aussagen, das Gegenteil ist stets genauso wahr.
7. Die sogenannte Wissenschaft liefert nur ein sehr oberflächliches Bild. Wahre Erkenntnis erfordert das Einswerden mit der Welt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man mit den üblichen Münzen einen Betrag von ${}50$ Cent begleichen?

Aufgabe (2 Punkte)

Ein Land besitze Münzen im Nennwert von ${}1,4,5$ und ${}6$ Talern. Zeige, dass es nicht unbedingt zu einer minimalen Anzahl von Münzen führt, wenn man einen Betrag sukzessive mit der größtmöglichen Münze begleicht.

Aufgabe (3 Punkte)

Zu den Eurozahlen soll eine zusätzliche Münze mit dem ganzzahligen Wert ${}k<10$ eingeführt werden. Für welche ${}k$ ist die minimale Darstellung aller Geldbeträge eindeutig, für welche nicht?

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Auf den quadratischen Inseln, die wegen der annähernd quadratischen Gestalt der Inseln so heißen, sind die Nennwerte der Münzen und Geldscheine die Quadratzahlen ${}1,4,9,16,\ldots$.

1. Bestimme für ${}w\leq 20$ die minimale(n) Darstellung(en) von ${}w$.
2. Ist die minimale Darstellung für alle (!) ${}w$ eindeutig?

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Ein Geldfälscher stellt ${}4$-, ${}9$- und ${}11$-Euro-Scheine her.

1. Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht (exakt) begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann?
2. Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann?
3. Beschreibe explizit die Menge ${}M$ der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann.