Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 10/latex

\setcounter{section}{10}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, warum der Ring
\mathdisp {\Z[X,Y,Z,W]/(XY-ZW, 5X^8-YZ^3+2WXY)} { }
\definitionsverweis {noethersch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1 }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2 }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3 }
{ \subseteq} {\ldots }
{ } { }
} {}{}{} eine aufsteigende Kette von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

}
{} {}

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die Reduktion.

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $n_R$ das Nilideal von $R$, das aus allen \definitionsverweis {nilpotenten Elementen}{}{} von $R$ besteht. Dann nennt man den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/n_R$ die \definitionswort {Reduktion}{} von $R$.

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen \definitionsverweis {Reduktion}{}{} ein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die als $K$-\definitionsverweis {Modul}{}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} sei. Zeige, dass ein Element $f \in A$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn es ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $K$ und $L$ Körper, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei $A$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ A }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Dann ist $M$ genau dann \definitionsverweis {noethersch}{}{,} wenn jede aufsteigende Kette
\mathdisp {M_0 \subseteq M_1 \subseteq M_2 \subseteq \ldots} { }
von $R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} stationär wird.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der \anfuehrung{dual}{} zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt \definitionswort {artinsch}{,} wenn jede absteigende Kette
\mathdisp {M_1 \supseteq M_2 \supseteq M_3 \supseteq \ldots} { }
von $R$-Untermoduln stationär wird.

Ein kommutativer Ring $R$ heißt
\definitionswortenp{artinsch}{,} wenn er als $R$-Modul artinsch ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ ein \definitionsverweis {artinscher}{}{} Integritätsbereich. Man zeige, dass $A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\mathfrak a$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in einem kommutativen Ring. Zeige, dass $\mathfrak a$ der Durchschnitt von \definitionsverweis {Primidealen}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { R/{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.

}
{Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{A=K[X,Y]}{.} Finde eine $K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{} von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zum Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I }
{ =} { (10,6x^2+8,4x^3-12) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Z[x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Elementen}{}{} schreiben lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $A$ ein kommutativer Ring und sei
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0} { }
eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $A$-Moduln. Man zeige, dass $N$ genau dann artinsch ist, wenn $M$ und $P$ artinsch sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zeige: Wenn $M$ \definitionsverweis {artinsch}{}{} und
\mathl{\phi: M \to M}{} $R$-linear und injektiv ist, so ist $\phi$ ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das $M$ noethersch ist.

}
{} {}