Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 9

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Aufwärmaufgabe

Aufgabe

Beschreibe

als Monoidring und als neutrale Stufe eines Polynomrings in einer geeigneten Graduierung.


Aufgabe

Bestimme das Monoid und den Monoidring, das durch den Kegel

mit und bestimmt ist. Finde eine Graduierung auf derart, dass der Monoidring der Ring der neutralen Stufe ist.


Aufgabe

Es sei ein normales, spitzes Monoid, wobei das Differenzengitter zu sei. Es sei der zugehörige rationale Kegel. Zeige, dass bei dieser Kegel durch zwei Halbräume (bzw. Linearformen) beschreibbar ist, und dass bei jede Anzahl an Halbräumen auftreten kann.


Die beiden nächsten Aufgaben machen zwei Extremfälle von Satz 9.5  (4) explizit.

Aufgabe

Es sei ein Körper und seien ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien natürliche Zahlen und ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Bestimme zur durch einen Gruppenhomomorphismus

bestimmten

-Graduierung auf den Ring der neutralen Stufe in Abhängigkeit von .


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine -graduierte -Algebra, auf der eine Gruppe als Gruppe von homogenen -Algebrahomomorphismen operiere. Zeige


Aufgabe

Zeige, dass der Veronese-Ring als -Algebra durch Elemente erzeugt wird derart, dass sämtliche -Minoren der Matrix

Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein graduierter kommutativer Ring und es sei eine Stufe, die eine Einheit enthalte. Zeige, dass als -Modul isomorph zu ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel eines Untermonoids , das nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Bestimme in der Situation von Aufgabe 9.5 den Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die minimale Anzahl eines Erzeugendensystems für den Veronese-Ring .



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