Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 10

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Noethersche Ringe

Unser Ziel ist es zu zeigen, dass wenn ein noetherscher Ring ist, dass dann auch der Polynomring ein noetherscher Ring ist (Hilbertscher Basissatz). Dies gilt dann auch für die Hinzunahme von mehreren (endlich vielen) Variablen und insbesondere für Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper. Wir erinnern an den Begriff des noetherschen Ringes.



Definition  

Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Proposition  

Für einen kommutativen Ring sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist noethersch.
  2. Jede aufsteigende Idealkette

    wird stationär, d.h. es gibt ein mit .

Beweis  

(1) (2). Sei

eine aufsteigende Idealkette in . Wir betrachten die Vereinigung , die wieder ein Ideal in ist. Da noethersch ist, ist endlich erzeugt, d.h. . Da diese in der Vereinigung der Ideale liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein derart geben, dass liegt. Wegen

für muss hier Gleichheit gelten, so dass die Idealkette ab stationär ist.

(2) (1). Sei ein Ideal in . Wir nehmen an, sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette , wobei die alle endlich erzeugt sind. Sei dazu

bereits konstruiert. Da endlich erzeugt ist, aber nicht, ist die Inklusion echt und es gibt ein Element

Dann setzt das Ideal die Idealkette echt aufsteigend fort.




Lemma  

Sei ein noetherscher Ring.

Dann ist auch jeder Restklassenring noethersch.

Beweis  

Sei ein Ideal und sei das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also . Die Restklassen dieser Erzeuger, also , bilden ein Idealerzeugendensystem von : Für ein Element gilt ja in und damit in .



Der Hilbertsche Basissatz

Wie viele grundlegende Aussagen der kommutativen Algebra geht der Hilbertsche Basissatz, dem wir uns jetzt zuwenden, auf David Hilbert zurück, genauer auf seine Arbeit von 1890, „Ueber die Theorie der algebraischen Formen“.




Satz  

Sei ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring noethersch.

Beweis  

Sei ein Ideal im Polynomring . Zu definieren wir ein Ideal in durch

Das Menge besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad aus . Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in (wobei wir hier als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist , da man ja ein Polynom vom Grad mit Leitkoeffizient mit der Variablen multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad zu erhalten, das wieder als Leitkoeffizienten besitzt. Da noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei so, dass ist.

Zu jedem sei nun ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

zugehörige Polynome aus (die es nach Definition der geben muss).

Wir behaupten, dass von allen erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes durch Induktion über den Grad von , dass es als Linearkombination mit diesen darstellbar ist. Für konstant, also , ist dies klar. Sei nun der Grad von gleich und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

Es ist und damit kann man als -Linearkombination der , schreiben. Bei kann man sogar als -Linearkombination der , schreiben, sagen wir . Dann ist und hat einen kleineren Grad, so dass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei ist

Damit gehört

ebenfalls zu und hat einen kleineren Grad, so dass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.




Korollar  

Sei ein noetherscher Ring.

Dann ist auch noethersch.

Beweis  

Dies folgt durch induktive Anwendung des Hilbertschen Basissatzes auf die Kette




Korollar  

Sei ein Körper.

Dann ist noethersch.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Korollar 10.5.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring. Eine -Algebra heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form

besitzt.

Eine endlich erzeugte -Algebra besitzt also eine Darstellung als Restklassenring einer Polynomalgebra über in endlich vielen Variablen. Eine solche Darstellung ist keineswegs eindeutig.



Korollar  

Sei ein noetherscher Ring.

Dann ist jede -Algebra von endlichem Typ ebenfalls noethersch. Insbesondere ist für einen Körper jede -Algebra von endlichem Typ noethersch.

Beweis  

Dies folgt aus Korollar 10.5 und aus Lemma 10.3.




Noethersche Moduln

Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring und einen endlich erzeugten -Modul jeder -Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann heißt noethersch, wenn jeder -Untermodul von endlich erzeugt ist.

Für stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die -Untermoduln von gerade die Ideale sind.

In den folgenden Aussagen verwenden wir folgende Sprech- bzw. Schreibweise.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln Man nennt ein Diagramm der Form

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln, wenn ein -Untermodul von ist, und wenn ein Restklassenmodul von ist, der isomorph zu ist.

Die Exaktheit bedeutet, dass an jeder Stelle die Beziehung

gilt, wenn die -Modulhomomorphismen bezeichnet.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln.

Dann ist genau dann noethersch, wenn sowohl als auch noethersch sind.

Beweis  

Sei zunächst noethersch, und ein Untermodul. Dann ist direkt auch ein Untermodul von , also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Sei nun ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von in unter der Restklassenabbildung sei . Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul .

Seien nun die äußeren Moduln und noethersch, und sei ein Untermodul. Es sei der Bild-Untermodul davon. wird von endlich vielen Elementen erzeugt, und wir können annehmen, dass diese die Bilder von Elementen sind. Betrachte . Dies ist ein Untermodul von , und daher endlich erzeugt, sagen wir von , die wir als Elemente in auffassen. Wir behaupten, dass

ein Erzeugendensystem von bilden. Sei dazu ein beliebiges Element. Dann ist und daher geht das Element rechts auf . Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu . Andererseits gehört dieses Element auch zu , also zum Durchschnitt , der ja von den erzeugt wird. Also kann man

bzw. schreiben.




Satz  

Sei ein noetherscher kommutativer Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann ist ein noetherscher Modul.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Modulerzeuger von . Bei liegt der Nullmodul vor. Sei . Dann gibt es eine surjektive Abbildung . Nach Lemma 10.12 ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist noethersch.

Sei nun und die Aussage für kleinere bereits bewiesen. Sei ein Erzeugendensystem von . Wir betrachten den durch erzeugten -Untermodul, den wir mit bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich

Hier wird der linke Modul von Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von , also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Lemma 10.12 ist dann noethersch.



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