Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{{\mathfrak a}, {\mathfrak b} \subseteq R}{} seien \definitionsverweis {Ideale}{}{.} Zeige die $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R/{\mathfrak a} \otimes_{ R } R/ {\mathfrak b} }
{ =} {R/ { \left( {\mathfrak a} + {\mathfrak b} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{S, T \subseteq R}{} seien \definitionsverweis {multiplikative Systeme}{}{.} Zeige die $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_S \otimes_{ R } R_T }
{ =} {R_{S \cdot T} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{L \otimes_{ K } L}{} kein Körper sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {ganzer Ringhomomorphismus}{}{} zwischen \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} und \maabb {} {R} {R' } {} ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch \maabbeledisp {\varphi'} {R'} { R' \otimes_{ R } S } {f} { f \otimes 1 } {,} ganz ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Bestimme zur \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^*} { \operatorname{Spek} { \left( K[X] \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( K[X] \right) } } {} zum \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {K[X]} {K[X] } {X} {X^n } {,} die \definitionsverweis {Fasern}{}{} zu jedem Punkt
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( K[X] \right) }}{.} Worin unterscheiden sich die Fasern, welche Eigenschaften sind für jede Faser gleich? Wie viele Isomorphietypen der Fasern gibt es bei $K$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der Polynomring über $K$ und
\mathl{L=K(X)}{} sein \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.} Bestimme die $L$-\definitionsverweis {wertigen Punkte}{}{} von
\mathl{K[X] \otimes_{ K } K[X]}{.} Welcher Punkt entspricht der \zusatzklammer {zweifach genommenen} {} {} natürlichen Inklusion
\mathl{K[X] \subseteq K(X)}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mathl{A=\bigoplus_{d\in D} A_d}{} und
\mathl{B=\bigoplus_{e\in E} B_e}{} kommutative \definitionsverweis {graduierte}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{,} wobei \mathkor {} {D} {und} {E} {} kommutative Gruppen seien. Zeige, dass $A \otimes_{ R } B$ in natürlicher Weise eine
\mathl{D \times E}{-}Graduierung trägt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien \mathkor {} {A} {und} {B} {} \definitionsverweis {kommutative}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Es seien \mathkor {} {H} {und} {G} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{,} wobei die Gruppe $H$ auf $A$ und die Gruppe $G$ auf $B$ jeweils als Gruppe von $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} operiere. Zeige, dass dann eine natürliche Operation der \definitionsverweis {Produktgruppe}{}{}
\mathl{H \times G}{} auf
\mathl{A \otimes_{ R } B}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einer \definitionsverweis {kommutativen}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$ als Gruppe von $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige, dass $G$ in natürlicher Weise auch auf den \definitionsverweis {Tensorprodukten}{}{}
\mathl{A \otimes_{ R } A}{,}
\mathl{A \otimes_{ R } A \otimes_{ R } A}{,} etc. operiert.

}
{} {} Man überlege sich auch, wo die vorstehende Konstruktion im Laufe der Vorlesung vorkam \zusatzklammer {ohne dass explizit das Tensorprodukt verwendet wurde} {} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $A,B$ kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf $R,A,B$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{,} wobei die Operationen mit den \definitionsverweis {Strukturhomomorphismen}{}{} \definitionsverweis {verträglich}{}{} seien. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $G$ in natürlicher Weise auf
\mathl{A \otimes_{ R } B}{} operiert. }{Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { A^G \otimes_{ R^G } B^G} { { \left( A \otimes_{ R } B \right) }^G } {} gibt. }{Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass der Ringhomomorphismus aus (2) kein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} sein muss. }

}
{} {}

Zu einem Körper $K$, zwei Mengen $X,Y$ und Funktionen \maabb {f} {X} {K } {} und \maabb {g} {Y} {K } {} schreiben wir
\mathl{f \cdot g}{} für die Abbildung \maabbele {} {X \times Y} {K } {(x,y)} { f(x) g(y) } {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {endliche Mengen}{}{.} Zeige, dass man jede Funktion \maabbdisp {h} {X \times Y} {K } {} in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h }
{ =} { \sum_{i= 1}^n f_i \cdot g_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Funktionen \maabb {f_i} {X} {K } {} und \maabb {g_i} {Y} {K } {} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass man nicht jede Funktion \maabbdisp {h} {\N \times \N} {K } {} in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h }
{ =} { \sum_{i= 1}^n f_i \cdot g_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Funktionen \maabb {f_i} {\N} {K } {} und \maabb {g_i} {\N} {K } {} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man nicht jede \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {h} {\R \times \R} {\R } {} in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h }
{ =} { \sum_{i= 1}^n f_i \cdot g_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit stetigen Funktionen \maabb {f_i,g_i} {\R } { \R } {} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wo wird in Beispiel 17.8 die Endlichkeit der Gruppe verwendet?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} durch \maabbeledisp {\Delta} {K[X]} { K[X] \otimes_{ K } K[X] \cong K[X,Y] } {X} { X \otimes1 + 1 \otimes X = X+Y } {,} durch \maabbeledisp {} {K[X]} {K } {X} {0 } {,} und durch \maabbeledisp {} {K[X]} {K[X] } {X} {-X } {,} eine \definitionsverweis {Hopf-Struktur}{}{} erklärt wird.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{} und $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die $R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R[M \times N] }
{ \cong} { R[M] \otimes_{ R } R[N] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {h} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} { \sqrt{x^2+y^2} } {,} nicht in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h }
{ =} { \sum_{i= 1}^n f_i \cdot g_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit stetigen Funktionen \maabb {f_i,g_i} {\R} {\R } {} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass auf
\mathl{K[X,X^{-1}] \cong K[X]_X}{} durch \maabbeledisp {\Delta} {K[X,X^{-1}]} { K[X,X^{-1}] \otimes_{ K } K[X,X^{-1}] \cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}] } {X} { X \otimes1 \cdot 1 \otimes X = X \cdot Y } {,} durch \maabbeledisp {} {K[X,X^{-1}]} {K } {X} {1 } {,} und durch \maabbeledisp {} {K[X,X^{-1}]} {K[X ,X^{-1}] } {X} {X^{-1} } {,} eine \definitionsverweis {Hopf-Struktur}{}{} erklärt wird.

}
{} {}