Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe Korollar 20.3 für die \definitionsverweis {symmetrische Gruppe}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {spezielle lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} keine \definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{\sigma \in \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} eine \definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{} und $G$ die von $\sigma$ \definitionsverweis {erzeugte}{}{} \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{.} Zeige direkt, dass der Invariantenring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^G}{} ein \definitionsverweis {Polynomring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Reflektionsgruppe}{}{} $G$ und eine nichttrivale Untergruppe
\mathl{H \subseteq G}{,} die keine \definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {symmetrische Gruppe}{}{} $S_n$ mit ihrer natürlichen Einbettung
\mathl{S_n \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass
\mathl{\sigma \in S_n}{} genau dann eine \definitionsverweis {Transposition}{}{} ist, wenn $\sigma$ eine \definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein \definitionsverweis {freier Modul}{}{} über dem Polynomring
\mathl{K[E_1 , \ldots , E_n]}{} der \definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynome}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das \definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
\mathl{F \mapsto F'}{:} \aufzaehlungdrei{Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$. }{Die Ableitung ist $K$-\definitionsverweis {linear}{}{.} }{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (FG)' }
{ =} {FG'+F'G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine \definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{} von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei $F'$ die \definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von $F$ bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man charakterisiere die Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass \aufzaehlungdrei{die erste \definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{,} }{die zweite partielle Ableitung, }{beide partiellen Ableitungen } $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \zusatzklammer {in der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}} {} {} \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e H }
{ =} { X_1 { \frac{ \partial H }{ \partial X_1 } } + \cdots + X_n { \frac{ \partial H }{ \partial X_n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} und
\mathl{G_1 , \ldots , G_k \in K[Y_1 , \ldots , Y_m]}{} Polynome. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_i }
{ =} {G_i(F_1 , \ldots , F_m) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {formalen partiellen Ableitungen}{}{} die \anfuehrung{formale Kettenregel}{}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial H_1 }{ \partial X_1 } } & \ldots & { \frac{ \partial H_{1} }{ \partial X_{n} } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial H_{k} }{ \partial X_1 } } & \ldots & { \frac{ \partial H_{k} }{ \partial X_{n} } } \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial G_1 }{ \partial Y_1 } } & \ldots & { \frac{ \partial G_{1} }{ \partial Y_{m} } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial G_{k} }{ \partial Y_1 } } & \ldots & { \frac{ \partial G_{k} }{ \partial Y_{m} } } \end{pmatrix} { \left( { \frac{ F_j }{ Y_j } } \right) } \circ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial F_1 }{ \partial X_1 } } & \ldots & { \frac{ \partial F_{1} }{ \partial X_{n} } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial F_{m} }{ \partial X_1 } } & \ldots & { \frac{ \partial F_{m} }{ \partial X_{n} } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen, wobei der Ausdruck
\mathl{{ \frac{ F_j }{ Y_j } }}{} bedeutet, dass die Variablen $Y_j$ durch die Polynome $F_j$ zu ersetzen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} mit der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{.} Es seien
\mathl{Q, P_1 , \ldots , P_m \in R}{} \definitionsverweis {homogene Polynome}{}{} mit
\mathdisp {Q \in K[P_1 , \ldots , P_m]} { . }
Zeige
\mathl{Q \in K[P_j, \, j \in J ]}{,} wobei der Grad der
\mathbed {P_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} maximal gleich dem Grad von $Q$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {zyklische}{}{} \definitionsverweis {Reflektionsgruppe}{}{} derart, dass die Erzeuger der Gruppe keine \definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie viele \definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{} enthält die \definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb F}_3 \right) }}{} über dem Körper ${\mathbb F}_3$ mit drei Elementen.

}
{} {}

Die folgende Aussabe kann man bei
\mathl{K={\mathbb C}}{} mit dem Satz von Chevalley \zusatzklammer {der besagt, dass Bilder \anfuehrung{konstruierbarer Mengen}{} wieder konstruierbar sind} {} {} und der Transformationsformel für Volumina beweisen. Gibt es auch einen elementaren algebraischen Beweis?

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und seien
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} \definitionsverweis {algebraisch unabhängige}{}{} Polynome. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( { \left( { \frac{ \partial Q_i }{ \partial X_j } } \right) }_{ij} \right) }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}