Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 21

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ordnung der ebenen Drehung um $291$ Grad.

Die nächste Aufgabe verwendet die sogenannte Kleinsche Vierergruppe. Dies ist einfach die Produktgruppe $\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$.

Aufgabe

Zeige, dass die Diedergruppe $D_2$ isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Diedergruppe $D_3$ isomorph zur Permutationsgruppe $S_3$ ist.

Aufgabe

Es sei  $V=(P_1,P_2,P_3,P_4)$  ein Viereck in der Ebene. Bestimme die möglichen eigentlichen Symmetriegruppen von $V$.

Aufgabe

Es sei  $V=(P_1,P_2,P_3,P_4)$  ein Viereck in der Ebene. Bestimme die möglichen Symmetriegruppen (die auch die uneigentlichen Symmetrien beinhalten) von $V$.

Aufgabe

In die Erdkugel soll ein Würfel eingeschrieben werden derart, dass Osnabrück ein Eckpunkt ist und sich ein weiterer benachbarter Eckpunkt in südlicher Richtung von Osnabrück befindet. Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte dieses Würfels. Wie viele Eckpunkte befinden sich im Meer?

Aufgabe

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und $n$ gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht „aus physikalischen Gründen“ eine „gleichverteilte“ Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen $P,Q$ eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die $P$ in $Q$ überführt?

Aufgabe

Es sei $A_n$ eine alternierende Gruppe mit  $n\ge 4$.  Zeige, dass $A_n$ nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Kleinsche Vierergruppe zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe $S_4$ isomorph ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der Würfelgruppe aus?

Aufgabe

Zeige, dass jede gerade Permutation $\sigma \in S_n$, $n\ge 3$, ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

Aufgabe

Betrachte die Wirkung der Tetraedergruppe auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders. Zeige, dass dies eine Isomorphie zwischen der Tetraedergruppe und der alternierenden Gruppe $A_4$ ergibt.

Aufgabe

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{O}}_2$  eine endliche Untergruppe der (uneigentlichen) Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei  $G\subseteq ̸{\mathrm{SO}}_2$.  Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$G⟶\mathbb{Z}/(2)$

gibt, dessen Kern eine zyklische Gruppe ist. Schließe, dass die Ordnung von $G$ gerade ist.

Aufgabe *

Betrachte die rationalen Zahlen $(\mathbb{Q},+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei  $G\subseteq \mathbb{Q}$  eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ zyklisch ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $51$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Siebteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${\mathrm{SO}}_2$?

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte ein regelmäßiges $n$-Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die Diedergruppe $D_n$. Beschreibe $D_n$ als Untergruppe der Permutationsgruppe $S_n$. Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche $n$ handelt es sich um eine Untergruppe der alternierenden Gruppe?

Die folgende Aufgabe verwendet den topologischen Begriff der Dichtheit.

Eine Teilmenge  $T\subseteq ℝ$  heißt dicht, wenn es zu jeder reellen Zahl  $x\in ℝ$  und jedem  $ϵ>0$  Elemente  $t\in T$  mit

$|t-x|<ϵ$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen $ℝ$. Zeige, dass entweder  $H=\mathbb{Z}a$  mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$ dicht in $ℝ$ ist.

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (10 Punkte)

Man schreibe eine Computeranimation, die zeigt, wie sich fünf auf einer Kugeloberfläche platzierte Teilchen mit der gleichen positiven Ladung aufgrund ihrer gegenseitigen Abstoßung bewegen (wobei sie aber auf der Kugeloberfläche bleiben), und welche Endposition (?) sie einnehmen.