Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Quotient
\mathdisp {{ \frac{ 1-x_3 }{ x_1+x_2 { \mathrm i} } }} { }
für
\mathl{x_1,x_2 \to 0}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_3 }
{ =} { \pm \sqrt{1-x_1^2-x_2^2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.} Zeige: $F$ zerfällt in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}

}
{} {}

Der in der Vorlesung verwendete Begriff einer Singularität wird durch folgende Definition präzisiert \zusatzklammer {es ist eher ein wichtiges Kriterium} {} {.}

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_s }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome mit der zugehörigen affinen Varietät
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} {V(F_1 , \ldots , F_s) }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} sei und die Dimension $d$ besitze. Es sei
\mathl{P \in Y}{} ein abgeschlossener Punkt. Dann heißt $P$ ein \definitionswort {glatter Punkt}{} von $Y$, wenn der \definitionsverweis {Rang}{}{} der Matrix
\mathdisp {{ \left( { \frac{ \partial F_i }{ \partial X_j } } \right) }_{i,j}} { }
im Punkt $P$ mindestens
\mathl{n-d}{} ist. Andernfalls heißt der Punkt \definitionswort {singulär}{.}

Die meisten Punkte einer affinen Varietät sind glatt, die singulären Punkte, wenn es sie denn gibt, bilden eine abgeschlossene Teilmenge, die der \stichwort {singuläre Ort} {} von $Y$ heißt. Die Varietät heißt \stichwort {glatt} {,} wenn sie in jedem Punkt glatt ist.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {affine Raum}{}{}
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Ringe
\mathl{K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{n \geq 2}{}} {} {} genau in
\mathl{P=(0,0,0)}{} \definitionsverweis {singulär}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Ringe
\mathl{K[X,Y,Z]/(X^2+YZ^2+Y^{m+1})}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{m \geq 1}{}} {} {} genau in
\mathl{P=(0,0,0)}{} \definitionsverweis {singulär}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Ring
\mathl{K[X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+Z^4 \right) }}{} genau in
\mathl{P=(0,0,0)}{} \definitionsverweis {singulär}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {singulären Ort}{}{} von
\mathl{K[X,Y,Z]/(X^2+YZ^2)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {singulären Ort}{}{} von
\mathl{K[X,Y,Z]/(X^2+YZ^2+Z^n)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige explizit, dass der Ring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y,Z]/ { \left( X^2+YZ^2+Y^{2} \right) }}{} \zusatzklammer {also die Diedersingularität zu \mathlk{m = 1}{}} {} {} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu
\mathl{{\mathbb C}[S,T,U]/ { \left( ST-U^4 \right) }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige direkt, dass die Polynome
\mathdisp {U^{2m}+V^{2m}, \, U^2V^2 \text{ und } UV(U^{2m} - V^{2m})} { }
\definitionsverweis {invariant}{}{} zur Operation der \definitionsverweis {binären Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_m}{} auf
\mathl{{\mathbb C}[U,V]}{} sind, und bestimme eine \definitionsverweis {Relation}{}{} zwischen diesen Polynomen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zu den endlichen Untergruppen
\mathl{G \subseteq \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} die Halbachsenklassen auf $S^2$ und auf der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{{\mathbb C}}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zu den endlichen Untergruppen
\mathl{G \subseteq \operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} und zu jeder Halbachsenklasse ein zugehöriges \definitionsverweis {semiinvariantes Polynom}{}{.}

}
{} {}