Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 25

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Quotient

${\frac {1-x_{3}}{x_{1}+x_{2}{\mathrm {i} }}}$

für ${}x_{1},x_{2}\to 0$ und

${}x_{3}=\pm {\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}\,$

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}F\in K[X,Y]$  ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Der in der Vorlesung verwendete Begriff einer Singularität wird durch folgende Definition präzisiert (es ist eher ein wichtiges Kriterium).

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  Polynome mit der zugehörigen affinen Varietät

${}Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$

die irreduzibel sei und die Dimension ${}d$ besitze. Es sei  ${}P\in Y$  ein abgeschlossener Punkt. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}Y$, wenn der Rang der Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$

im Punkt ${}P$ mindestens ${}n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Die meisten Punkte einer affinen Varietät sind glatt, die singulären Punkte, wenn es sie denn gibt, bilden eine abgeschlossene Teilmenge, die der singuläre Ort von ${}Y$ heißt. Die Varietät heißt glatt, wenn sie in jedem Punkt glatt ist.

Aufgabe

Zeige, dass der affine Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ glatt ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge  ${}V{\left(XY-Z^{n}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  (mit ${}n\geq 2$) genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär sind.

Aufgabe *

Zeige, dass die Nullstellenmengen  ${}V{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{m+1}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  (mit ${}m\geq 1$) über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge  ${}V{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2,3$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Bestimme den singulären Ort der Nullstellenmenge  ${}V{\left(X^{2}+YZ^{2}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. 

Aufgabe

Bestimme den singulären Ort der Nullstellenmenge  ${}V{\left(X^{2}+YZ^{2}+Z^{n}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. 

Aufgabe

Zeige explizit, dass der Ring ${}{\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{2}\right)}$ (also die Diedersingularität zu $m=1$) isomorph zu ${}{\mathbb {C} }[S,T,U]/{\left(ST-U^{4}\right)}$ ist.

Aufgabe

Zeige direkt, dass die Polynome

$U^{2m}+V^{2m},\,U^{2}V^{2}{\text{ und }}UV(U^{2m}-V^{2m})$

invariant zur Operation der binären Diedergruppe ${}BD_{m}$ auf ${}{\mathbb {C} }[U,V]$ sind, und bestimme eine Relation zwischen diesen Polynomen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (10 Punkte)

Bestimme zu den endlichen Untergruppen  ${}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$  die Halbachsenklassen auf ${}S^{2}$ und auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.

Aufgabe (10 Punkte)

Bestimme zu den endlichen Untergruppen  ${}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$  und zu jeder Halbachsenklasse ein zugehöriges semiinvariantes Polynom.