Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 25

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Quotient

für und gegen konvergiert.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein homogenes Polynom. Zeige: zerfällt in Linearfaktoren.


Der in der Vorlesung verwendete Begriff einer Singularität wird durch folgende Definition präzisiert (es ist eher ein wichtiges Kriterium).


Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit der zugehörigen affinen Varietät

die irreduzibel sei und die Dimension besitze. Es sei ein abgeschlossener Punkt. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn der Rang der Matrix

im Punkt mindestens ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.


Die meisten Punkte einer affinen Varietät sind glatt, die singulären Punkte, wenn es sie denn gibt, bilden eine abgeschlossene Teilmenge, die der singuläre Ort von heißt. Die Varietät heißt glatt, wenn sie in jedem Punkt glatt ist.

Aufgabe

Zeige, dass der affine Raum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper glatt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Ringe (mit ) genau in singulär sind.


Aufgabe

Zeige, dass die Ringe (mit ) genau in singulär sind.


Aufgabe

Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.


Aufgabe

Bestimme den singulären Ort von .


Aufgabe

Bestimme den singulären Ort von .


Aufgabe

Zeige explizit, dass der Ring (also die Diedersingularität zu ) isomorph zu ist.


Aufgabe

Zeige direkt, dass die Polynome

invariant zur Operation der binären Diedergruppe auf sind, und bestimme eine Relation zwischen diesen Polynomen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (10 Punkte)

Bestimme zu den endlichen Untergruppen die Halbachsenklassen auf und auf der projektiven Geraden .


Aufgabe (10 Punkte)

Bestimme zu den endlichen Untergruppen und zu jeder Halbachsenklasse ein zugehöriges semiinvariantes Polynom.



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